∑ JKMaths
La méthode Tarifs & forfaits Crédit d'impôt 50 % Cours & exercices Calculatrice graphique Défi du jour Jeux de maths Parcours Entraide Console Python Annales corrigées Avis RDV gratuit S'inscrire Connexion

Cours de maths 4e · Chapitre 2

Calcul littéral

Réduire une expression littérale, développer avec la simple et la double distributivité, et factoriser, avec exemples et exercices.

I) Expressions littérales

⚠️ Remarque

Le signe « × » n'est pas obligatoire :

  • entre deux lettres : \(ab\)
  • entre un nombre et une lettre : \(4x\)
  • devant une parenthèse : \(3(x+2)\)

Exemple 1 : Calculer une expression littérale

Calculer \(A=4x+2\) avec \(x=2\), puis avec \(x=3\).

✅ Voir les réponses

Pour \(x=2\) :

\[A=4\times2+2\]

\[A=8+2=10\]


Pour \(x=3\) :

\[A=4\times3+2\]

\[A=12+2=14\]

📖 Les degrés d'une expression

Dans un calcul littéral, il existe des termes de degrés différents.

  • Les termes de degré 2 sont en \(x^2\) : \(3x^2,\;12x^2,\ldots\)
  • Les termes de degré 1 sont en \(x\) : \(4x,\;7x,\ldots\)
  • Les termes de degré 0 sont les nombres : \(12,\;5,\ldots\)

On ne peut additionner ou soustraire que des termes de même degré.

Exemple 2 : Réduire une expression littérale

  • \(3x^2+5x^2=\)
  • \(3x^3-2x^3=\)
  • \(3x\times2x=\)
  • \(\dfrac{6x^2}{3x^2}=\)
✅ Voir les réponses

  • \[3x^2+5x^2=(3+5)x^2=8x^2\]

  • \[3x^3-2x^3=(3-2)x^3=x^3\]

  • \[3x\times2x =(3\times2)(x\times x) =6x^2\]

  • \[\frac{6x^2}{3x^2} =\frac63\times\frac{x^2}{x^2} =2\times1 =2\]

Lorsque les termes sont de degrés différents, on peut seulement les multiplier ou les diviser.

Exemple 3 : Calculer des produits de monômes

  • \(3x^2\times2x=\)
  • \(3x^2+2x\times2=\)
✅ Voir les réponses

  • \[3x^2\times2x =(3\times2)(x^2\times x) =6x^3\]

  • \[3x^2+2x\times2 =3x^2+4x\]

II) Distributivité simple

📖 Propriété

\[k(a+b)=ka+kb\]

\[k(a-b)=ka-kb\]

Exemple 4 : Développer une expression

  1. \(A=7(x+2)=\)
  2. \(B=4x(3-2x)=\)
  3. \(C=5(4x-9)=\)
  4. \(D=(8-x)\times5=\)
  5. \(E=(2x+4)\times x=\)
✅ Voir les réponses

  1. \[A=7(x+2) =7\times x+7\times2 =7x+14\]

  2. \[B=4x(3-2x) =4x\times3+4x\times(-2x) =12x-8x^2\]

  3. \[C=5(4x-9) =5\times4x+5\times(-9) =20x-45\]

  4. \[D=(8-x)\times5 =8\times5-x\times5 =40-5x\]

  5. \[E=(2x+4)\times x =2x\times x+4\times x =2x^2+4x\]

III) Double distributivité

📖 Propriété

\[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\]

Exemple 5 : Développer une expression

  1. \(A=(2x+4)(3x+4)=\)
  2. \(B=(x+5)(2x-4)=\)
  3. \(C=(2x-1)(6+x)=\)
  4. \(D=(8x^2-3)(4x-2)=\)
✅ Voir les réponses

  1. \[A=(2x+4)(3x+4)\]

    \[=(2x)(3x)+(2x)(4)+4(3x)+4(4)\]

    \[=6x^2+8x+12x+16\]

    \[=6x^2+20x+16\]

  2. \[B=(x+5)(2x-4)\]

    \[=x(2x)+x(-4)+5(2x)+5(-4)\]

    \[=2x^2-4x+10x-20\]

    \[=2x^2+6x-20\]

  3. \[C=(2x-1)(6+x)\]

    \[=(2x)(6)+(2x)(x)+(-1)(6)+(-1)(x)\]

    \[=12x+2x^2-6-x\]

    \[=2x^2+11x-6\]

  4. \[D=(8x^2-3)(4x-2)\]

    \[=(8x^2)(4x)+(8x^2)(-2)+(-3)(4x)+(-3)(-2)\]

    \[=32x^3-16x^2-12x+6\]

IV) Factorisation

📖 Propriété

\[ka+kb=k(a+b)\]

\[ka-kb=k(a-b)\]

Exemple 6 : Factoriser une expression

  1. \(A=2x+22=\)
  2. \(B=2x+x^2=\)
  3. \(C=3x^3+2x^2=\)
✅ Voir les réponses

  1. \[A=2x+22\]

    \[=2\times x+2\times11\]

    \[=2(x+11)\]

  2. \[B=2x+x^2\]

    \[=x\times2+x\times x\]

    \[=x(2+x)\]

  3. \[C=3x^3+2x^2\]

    \[=x^2(3x)+x^2(2)\]

    \[=x^2(3x+2)\]

Exercice 1 : exercice 1

On a :

\[A=x+7,\qquad B=3x-2,\qquad C=x^2-4x\]

  1. \(A+B=\)
  2. \(A+C=\)
  3. \(B+C=\)
✅ Voir la correction

  1. \[\begin{aligned} A+B &=(x+7)+(3x-2)\\ &=x+3x+7-2\\ &=4x+5 \end{aligned}\]

  2. \[\begin{aligned} A+C &=(x+7)+(x^2-4x)\\ &=x^2+x-4x+7\\ &=x^2-3x+7 \end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} B+C &=(3x-2)+(x^2-4x)\\ &=x^2+3x-4x-2\\ &=x^2-x-2 \end{aligned}\]

Exercice 2 : exercice 2

On a :

\[A=x^2+2,\qquad B=-3x-5\]

  1. \(A-B=\)
  2. \(B-A=\)
✅ Voir la correction

  1. \[\begin{aligned} A-B &=(x^2+2)-(-3x-5)\\ &=x^2+2+3x+5\\ &=x^2+3x+7 \end{aligned}\]

  2. \[\begin{aligned} B-A &=(-3x-5)-(x^2+2)\\ &=-3x-5-x^2-2\\ &=-x^2-3x-7 \end{aligned}\]

Exercice 3 : exercice 3

On a :

\[A=3x^2-4x+5,\qquad B=-x^2+3x-1\]

  1. \(A+B=\)
  2. \(A-B=\)
  3. \(B-A=\)
✅ Voir la correction

  1. \[\begin{aligned} A+B &=(3x^2-4x+5)+(-x^2+3x-1)\\ &=3x^2-x^2-4x+3x+5-1\\ &=2x^2-x+4 \end{aligned}\]

  2. \[\begin{aligned} A-B &=(3x^2-4x+5)-(-x^2+3x-1)\\ &=3x^2-4x+5+x^2-3x+1\\ &=4x^2-7x+6 \end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} B-A &=(-x^2+3x-1)-(3x^2-4x+5)\\ &=-x^2+3x-1-3x^2+4x-5\\ &=-4x^2+7x-6 \end{aligned}\]

Exercice 4 : exercice 4

  1. \(4x(2x+3)=\)
  2. \((3x+2)\times2x=\)
  3. \(-2x(5x+3)=\)
✅ Voir la correction

  1. \[\begin{aligned} 4x(2x+3) &=4x\times2x+4x\times3\\ &=8x^2+12x \end{aligned}\]

  2. \[\begin{aligned} (3x+2)\times2x &=3x\times2x+2\times2x\\ &=6x^2+4x \end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} -2x(5x+3) &=(-2x)\times5x+(-2x)\times3\\ &=-10x^2-6x \end{aligned}\]

Exercice 5 : exercice 5

  1. \((4x-5)\times(-2x)=\)
  2. \(x^2\times(2x-8)=\)
  3. \((-5x-2)(x^2+3x)=\)
  4. \((x^2-2x+3)(x-1)=\)
✅ Voir la correction

  1. \[\begin{aligned} (4x-5)\times(-2x) &=4x\times(-2x)+(-5)\times(-2x)\\ &=-8x^2+10x \end{aligned}\]

  2. \[\begin{aligned} x^2\times(2x-8) &=x^2\times2x+x^2\times(-8)\\ &=2x^3-8x^2 \end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} (-5x-2)(x^2+3x) &=(-5x)\times x^2+(-5x)\times3x\\ &\qquad+(-2)\times x^2+(-2)\times3x\\ &=-5x^3-15x^2-2x^2-6x\\ &=-5x^3-17x^2-6x \end{aligned}\]

  4. \[\begin{aligned} (x^2-2x+3)(x-1) &=x^2\times x+x^2\times(-1)\\ &\qquad+(-2x)\times x+(-2x)\times(-1)\\ &\qquad+3\times x+3\times(-1)\\ &=x^3-x^2-2x^2+2x+3x-3\\ &=x^3-3x^2+5x-3 \end{aligned}\]

Exercice 6 : exercice 6

  1. \(12x-8=\)
  2. \(5x^2+7x=\)
  3. \(25x^2+15x-30=\)
✅ Voir la correction

  1. \[\begin{aligned} 12x-8 &=4\times3x-4\times2\\ &=4(3x-2) \end{aligned}\]

  2. \[\begin{aligned} 5x^2+7x &=x\times5x+x\times7\\ &=x(5x+7) \end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned} 25x^2+15x-30 &=5\times5x^2+5\times3x-5\times6\\ &=5(5x^2+3x-6) \end{aligned}\]

Exercice 7 : exercice 7

Factoriser

\[S=(5x-7)^2-(5x-7)(3x+4)\]

puis tester le résultat avec \(x=10\).

✅ Voir la correction

Étape 1 : Mise en évidence du facteur commun

\[\begin{aligned} S &=(5x-7)^2-(5x-7)(3x+4)\\ &=(5x-7)\Big((5x-7)-(3x+4)\Big) \end{aligned}\]

Étape 2 : Simplification de la parenthèse

\[\begin{aligned} S &=(5x-7)(5x-7-3x-4)\\ &=(5x-7)(2x-11) \end{aligned}\]

Étape 3 : Vérification avec \(x=10\)

\[\begin{aligned} S &=(5\times10-7)(2\times10-11)\\ &=43\times9\\ &=387 \end{aligned}\]

Vérification avec l'expression de départ :

\[\begin{aligned} S &=(50-7)^2-(50-7)(30+4)\\ &=43^2-43\times34\\ &=1849-1462\\ &=387 \end{aligned}\]

Les deux résultats sont identiques : la factorisation est correcte.

Voir tous mes cours →
Une question ?