Cours de maths 4e · Chapitre 4
Théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore pour calculer une longueur dans un triangle rectangle, et sa réciproque pour démontrer qu'un triangle est rectangle.
I) Le théorème
Le théorème de Pythagore ne s’applique que dans un triangle rectangle.
Formule :
\[\boxed{\text{Hypoténuse}^2=\text{Côté 1}^2+\text{Côté 2}^2}\]
L’hypoténuse est le côté le plus grand du triangle rectangle. Il est en face de l’angle droit.
Exemple 1 :
Correction
1.
Le triangle \(HGI\) est rectangle en \(G\).
D'après le théorème de Pythagore :
\[HI^2=HG^2+GI^2\]
\[HI^2=3,6^2+2,7^2\]
\[HI^2=12,96+7,29\]
\[HI^2=20,25\]
\[HI=\sqrt{20,25}=4,5\ \text{cm}\]
2.
Le triangle \(VTU\) est rectangle en \(T\).
D'après le théorème de Pythagore :
\[VU^2=VT^2+TU^2\]
\[5,4^2=3^2+TU^2\]
\[29,16=9+TU^2\]
\[TU^2=29.16-9=20,16\]
\[TU=\sqrt{20,16}\approx4,49\ \text{cm}\]
Arrondi au millimètre près :
\[TU\approx4,5\ \text{cm}\]
3.
Le triangle \(ONP\) est rectangle en \(N\).
D'après le théorème de Pythagore :
\[OP^2=ON^2+NP^2\]
\[5,2^2=3,8^2+NP^2\]
\[27,04=14,44+NP^2\]
\[NP^2=27.04-14.44=12,60\]
\[NP=\sqrt{12,60}\approx3,55\ \text{cm}\]
Arrondi au millimètre près :
\[NP\approx3,5\ \text{cm}\]
II) La réciproque
Objectif : On vous donne un triangle avec les 3 longueurs, vous devez dire si il est rectangle ou pas.
Exemple 2 :
- Le triangle \(LMN\) est tel que \(LM=6,3\ \text{cm}\), \(LN=4,8\ \text{cm}\) et \(MN=3,6\ \text{cm}\).
Ce triangle est-il rectangle ?
- Le triangle \(EFG\) est tel que \(EF=3,4\ \text{cm}\), \(EG=3\ \text{cm}\) et \(FG=1,6\ \text{cm}\).
Ce triangle est-il rectangle ?
- Le triangle \(WXY\) est tel que \(XY=32\ \text{cm}\), \(WY=60\ \text{cm}\) et \(WX=65\ \text{cm}\).
Ce triangle est-il rectangle ?
Correction
1.
Le plus grand côté est \(LM=6,3\ \text{cm}\).
Calculons :
\[LM^2=6,3^2=39,69\]
\[LN^2+MN^2=4,8^2+3,6^2=23,04+12,96=36\]
Comme
\[LM^2\neq LN^2+MN^2,\]
le triangle \(LMN\) n'est pas rectangle.
2.
Le plus grand côté est \(EF=3,4\ \text{cm}\).
Calculons :
\[EF^2=3,4^2=11,56\]
\[EG^2+FG^2=3^2+1,6^2=9+2,56=11,56\]
Comme
\[EF^2=EG^2+FG^2,\]
le triangle \(EFG\) est rectangle.
3.
Le plus grand côté est \(WX=65\ \text{cm}\).
Calculons :
\[WX^2=65^2=4225\]
\[WY^2+XY^2=60^2+32^2=3600+1024=4624\]
Comme
\[WX^2\neq WY^2+XY^2,\]
le triangle \(WXY\) n'est pas rectangle.
Exemple 3 :
Correction
a.
Le triangle \(ADE\) est rectangle en \(D\).
D'après le théorème de Pythagore :
\[AE^2=AD^2+DE^2\]
\[AE^2=4^2+3^2\]
\[AE^2=16+9=25\]
Le triangle \(ABF\) est rectangle en \(B\).
D'après le théorème de Pythagore :
\[AF^2=AB^2+BF^2\]
\[AF^2=4^2+3,25^2\]
\[AF^2=16+10,5625=26,5625\]
Le triangle \(ECF\) est rectangle en \(C\).
On a :
\[EC=DC-DE=4-3=1\]
et
\[CF=BC-BF=4-3,25=0,75\]
D'après le théorème de Pythagore :
\[EF^2=EC^2+CF^2\]
\[EF^2=1^2+0,75^2\]
\[EF^2=1+0,5625=1,5625\]
b.
On compare :
\[AE^2+EF^2=25+1,5625=26,5625\]
Or
\[AF^2=26,5625\]
Comme
\[AE^2+EF^2=AF^2,\]
d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(AEF\) est rectangle en \(E\).
Exemple 4 :
Correction
On sait que :
- \(AB=9\ \text{m}\)
- \(AS=5,6\ \text{m}\)
Les marques sur la figure indiquent que \(H\) est le milieu de \([AB]\).
Donc :
\[AH=\frac{AB}{2}=\frac{9}{2}=4,5\ \text{m}\]
Le triangle \(ASH\) est rectangle en \(H\).
D'après le théorème de Pythagore :
\[AS^2=AH^2+SH^2\]
\[5,6^2=4,5^2+SH^2\]
\[31,36=20,25+SH^2\]
\[SH^2=31.36-20.25=11,11\]
\[SH=\sqrt{11,11}\approx3,33\ \text{m}\]
Arrondi au dixième de mètre :
\[\boxed{SH\approx3,3\ \text{m}}\]
Exercice 1 : Calculer l'hypoténuse
Dans chaque cas, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). Calcule \(BC\).
- \(AB=6\) cm et \(AC=8\) cm
- \(AB=5\) cm et \(AC=12\) cm
- \(AB=9\) cm et \(AC=12\) cm
✅ Voir la correction
1. \(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100\) donc \(BC=\sqrt{100}=10\) cm.
2. \(BC^2=5^2+12^2=25+144=169\) donc \(BC=\sqrt{169}=13\) cm.
3. \(BC^2=9^2+12^2=81+144=225\) donc \(BC=\sqrt{225}=15\) cm.
Exercice 2 : Calculer un côté de l'angle droit
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). On connaît l'hypoténuse : trouve le côté manquant.
- \(BC=13\) cm et \(AB=5\) cm. Calcule \(AC\).
- \(BC=25\) cm et \(AC=24\) cm. Calcule \(AB\).
- \(BC=10\) cm et \(AB=6\) cm. Calcule \(AC\).
✅ Voir la correction
⚠️ Ici on soustrait : l'hypoténuse est le plus grand côté, elle passe en premier.
1. \(AC^2=BC^2-AB^2=13^2-5^2=169-25=144\) donc \(AC=\sqrt{144}=12\) cm.
2. \(AB^2=25^2-24^2=625-576=49\) donc \(AB=\sqrt{49}=7\) cm.
3. \(AC^2=10^2-6^2=100-36=64\) donc \(AC=\sqrt{64}=8\) cm.
Exercice 3 : Valeur approchée
Le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\), avec \(RS=7\) cm et \(ST=4\) cm.
Calcule \(RT\), arrondi au dixième de centimètre.
✅ Voir la correction
\(RT^2=RS^2+ST^2=7^2+4^2=49+16=65\) donc \(RT=\sqrt{65}\approx 8,1\) cm.
💡 \(65\) n'est pas un carré parfait : la valeur exacte est \(\sqrt{65}\), et on n'arrondit qu'à la toute fin.
Exercice 4 : Problème : l'échelle contre le mur
Une échelle de \(5\) m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est à \(1,4\) m du mur.
À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? Arrondis au centimètre.
✅ Voir la correction
Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. L'échelle est l'hypoténuse : c'est le plus long côté.
\(h^2=5^2-1,4^2=25-1,96=23,04\) donc \(h=\sqrt{23,04}=4,8\) m.
L'échelle touche le mur à 4,80 m.
💡 Vérifie toujours que ta réponse est plus petite que l'hypoténuse : ici \(4,8 < 5\). ✓