Cours de maths 4e · Chapitre 5
Calculer avec les fractions
Additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions — et ne plus additionner les dénominateurs.
I) Additionner deux fractions
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Même dénominateur : facile On additionne les numérateurs, \[\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7}\] |
Dénominateurs différents Il faut d'abord les rendre égaux, \[\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\] |
⚠️ L'erreur la plus grave du chapitre : additionner les dénominateurs entre eux.
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}\]
💡 Preuve par le bon sens : \(\frac{1}{2}\) vaut déjà 0,5, et \(\frac{2}{5}\) vaut 0,4. On ne peut pas obtenir moins en ajoutant quelque chose. La bonne réponse est \(\frac{5}{6}\).
II) Trouver le bon dénominateur commun
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1. Chercher si l'un des dénominateurs est un multiple de l'autre — dans ce cas, on ne transforme qu'une seule fraction. |
Exemple 1 : une addition
Calculer \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}\).
✅ Voir la correction
3 et 4 n'ont pas de multiple commun évident : on multiplie les deux, soit 12.
\[\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \qquad\qquad \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}\]
\[\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}\]
💡 Vérification approximative : \(\frac{2}{3} \approx 0{,}67\) et \(\frac{1}{4} = 0{,}25\), soit environ \(0{,}92\). Or \(\frac{11}{12} \approx 0{,}92\) ✔
Exemple 2 : quand un dénominateur suffit
Calculer \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}\).
✅ Voir la correction
6 est un multiple de 3 : on ne transforme que la seconde fraction.
\[\frac{1}{3} = \frac{2}{6} \qquad\text{donc}\qquad \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]
💡 Repérer ce cas fait gagner du temps et évite de manipuler de grands nombres.
III) Multiplier deux fractions
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Le plus simple de tous : on multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux. \[\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\] \[\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{10}{21}\] |
⚠️ Attention au contraste : pour multiplier, pas besoin de dénominateur commun. Beaucoup d'élèves en cherchent un par réflexe et se compliquent la vie.
💡 Astuce : simplifie avant de multiplier. Dans \(\frac{4}{9} \times \frac{3}{8}\), on peut simplifier 4 avec 8 et 3 avec 9, ce qui donne \(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\) — bien plus rapide que \(\frac{12}{72}\) à réduire ensuite.
IV) Diviser par une fraction
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Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. \[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\] |
L'inverse d'une fraction s'obtient en échangeant le numérateur et le dénominateur : l'inverse de \(\frac{3}{5}\) est \(\frac{5}{3}\).
Exemple 3 : une division
Calculer \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5}\).
✅ Voir la correction
\[\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}\]
💡 Remarque : le résultat est supérieur à 1, alors qu'on a « divisé ». C'est normal — diviser par un nombre plus petit que 1 augmente le résultat. Si ça te surprend, pense à « combien de fois \(\frac{2}{5}\) tient-il dans \(\frac{3}{4}\) ? » : presque deux fois.
Exemple 4 : un problème
Une recette demande \(\frac{3}{4}\) de litre de lait. On veut en faire \(\frac{2}{3}\) de la quantité. Combien de lait faut-il ?
✅ Voir la correction
« \(\frac{2}{3}\) de \(\frac{3}{4}\) » se traduit par une multiplication :
\[\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]
Il faut un demi-litre de lait.
💡 Le mot « de » entre deux fractions signifie toujours « multiplié par ».
À toi de jouer
- \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}\)
- \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5}\)
- \(\dfrac{3}{7} \times \dfrac{2}{9}\)
- \(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{2}{3}\)
✅ Voir les réponses
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\[\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}\]
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\[\frac{5}{10} + \frac{4}{10} = \frac{9}{10}\]
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\[\frac{3 \times 2}{7 \times 9} = \frac{6}{63} = \frac{2}{21}\]
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\[\frac{5}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}\]
Ce qu'il faut retenir
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