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Cours de maths 4e · Chapitre 1

Puissances

Les règles de calcul sur les puissances, les puissances de 10 et la notation scientifique, avec des exemples corrigés.

I) Puissances de nombres

Attention, ne pas confondre :

  • \(3^2=9\)
  • \(3\times2=6\)

\[a^b\times a^c=a^{b+c}\]

\[\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}\]

\[a^{-b}=\frac1{a^b}\]

\[(a^b)^c=a^{b\times c}\]

\[5^2\times5^3=5^5\]

\[\frac{4^5}{4^2}=4^3\]

\[4^{-3}=\frac1{4^3}=\frac1{64}\]

\[(9^2)^3=9^6\]

Exemple 1 : Savoir calculer avec des puissances

  1. \(3^2\times3^3=\)
  2. \(7\times7^2=\)
  3. \(0,2^2\times0,2^2=\)
  4. \(1,3^2\times1,3=\)
  5. \(4^3\times4=\)
  6. \(9^4\times9^2=\)
✅ Voir les réponses

  1. \[3^2\times3^3=3^{2+3}=3^5=243\]

  2. \[7\times7^2=7^1\times7^2=7^{1+2}=7^3=343\]

  3. \[0,2^2\times0,2^2=0,2^{2+2}=0,2^4=0,0016\]

  4. \[1,3^2\times1,3=1,3^2\times1,3^1=1,3^{2+1}=1,3^3=2,197\]

  5. \[4^3\times4=4^3\times4^1=4^{3+1}=4^4=256\]

  6. \[9^4\times9^2=9^{4+2}=9^6=531\,441\]

Exemple 2 : Quotient de puissances

  1. \(\dfrac{8^5}{8^3}=\)
  2. \(\dfrac{9^2}{9}=\)
  3. \(\dfrac{2^2}{2^5}=\)
  1. \(\dfrac{5}{5^3}=\)
  2. \(\dfrac{3^{11}}{3^{11}}=\)
✅ Voir les réponses

  1. \[\frac{8^5}{8^3}=8^{5-3}=8^2=64\]

  2. \[\frac{9^2}{9}=\frac{9^2}{9^1}=9^{2-1}=9\]

  3. \[\frac{2^2}{2^5}=2^{2-5}=2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18\]

  4. \[\frac5{5^3}=\frac{5^1}{5^3}=5^{1-3}=5^{-2}=\frac1{5^2}=\frac1{25}\]

  5. \[\frac{3^{11}}{3^{11}}=3^{11-11}=3^0=1\]

Exemple 4 : Puissances négatives

  1. \(2^{-4}=\)
  2. \(2^{-3}=\)
  3. \(2^{-3}\times2^{-4}=\)
  4. \(\dfrac{2^{-3}}{2^{-6}}=\)
✅ Voir les réponses

  1. \[2^{-4}=\frac1{2^4}=\frac1{16}\]

  2. \[2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18\]

  3. \[2^{-3}\times2^{-4}=2^{-3+(-4)}=2^{-7}=\frac1{2^7}=\frac1{128}\]

  4. \[\frac{2^{-3}}{2^{-6}}=2^{-3-(-6)}=2^3=8\]

II) Puissances de 10

📖 Propriétés

\[10^n=10\times10\times\cdots\times10\]

(\(n\) facteurs)

\[10^{-n}=\frac1{10^n}\]

✏️ Applications

\[10^4=10000\]

\[10^{-4}=\frac1{10000}=0,0001\]

Exemple 5 : Multiplications avec des puissances de 10

  1. \(10^2\times10^3=\)
  2. \(10^6\times10^{-2}=\)
  3. \(10^5\times10^{-5}=\)
  4. \(10^{-1}\times10^0=\)
  5. \(10^{-2}\times10^4=\)
  6. \(10^{-3}\times10=\)
✅ Voir les réponses

  1. \[10^2\times10^3=10^{2+3}=10^5=100000\]

  2. \[10^6\times10^{-2}=10^{6+(-2)}=10^4=10000\]

  3. \[10^5\times10^{-5}=10^{5+(-5)}=10^0=1\]

  4. \[10^{-1}\times10^0=10^{-1+0}=10^{-1}=0,1\]

  5. \[10^{-2}\times10^4=10^{-2+4}=10^2=100\]

  6. \[10^{-3}\times10=10^{-3}\times10^1=10^{-3+1}=10^{-2}=0,01\]

Exemple 6 : Écrire sous la forme d'une puissance de 10

  1. \(\dfrac{10\,000}{10^2}=\)
  2. \(\dfrac{10^{-1}}{10}=\)
  3. \(\dfrac{10^3}{10^{-1}}=\)
✅ Voir les réponses

  1. \[\frac{10\,000}{10^2}=\frac{10^4}{10^2}=10^{4-2}=10^2\]

  2. \[\frac{10^{-1}}{10}=\frac{10^{-1}}{10^1}=10^{-1-1}=10^{-2}\]

  3. \[\frac{10^3}{10^{-1}}=10^{3-(-1)}=10^4\]

  1. \(\dfrac{10^{-4}}{10^{-1}}=\)
  2. \(\dfrac{10^{-1}}{10^{-1}}=\)
  3. \(\dfrac{10}{10^{-2}}=\)
✅ Voir les réponses

  1. \[\frac{10^{-4}}{10^{-1}}=10^{-4-(-1)}=10^{-3}\]

  2. \[\frac{10^{-1}}{10^{-1}}=10^{-1-(-1)}=10^0=1\]

  3. \[\frac{10}{10^{-2}}=\frac{10^1}{10^{-2}}=10^{1-(-2)}=10^3\]

III) Notation scientifique

📖 Définition

La notation scientifique permet d'écrire rapidement les très grands nombres ou les très petits nombres.

Un nombre est écrit sous la forme :

\[a\times10^n\]

où :

  • \(1\leq a<10\)
  • \(n\) est un entier relatif.

Exemple 7 : Donner l'écriture scientifique des nombres suivants

  1. \(2008=\)
  2. \(15\) millions \(=\)
  3. \(0,84\times10^4=\)
  4. \(320\) milliards \(=\)
  5. \(27182\times10^{-4}=\)
  6. \(314,1\times10^{-4}=\)
  7. \(371=\)
  8. \(36000=\)
✅ Voir les réponses

  1. \[2008=2,008\times10^3\]

  2. \[15\,000\,000=1,5\times10^7\]

  3. \[0,84\times10^4=8,4\times10^3\]

  4. \[320\,000\,000\,000=3,2\times10^{11}\]

  5. \[27182\times10^{-4}=2,7182\times10^0\]

  6. \[314,1\times10^{-4}=3,141\times10^{-2}\]

  7. \[371=3,71\times10^2\]

  8. \[36000=3,6\times10^4\]

Exemple 8 : Calculer et donner les résultats en notation scientifique

  1. \((24\times10^{-4})\times(7\times10^{-2})=\)
  2. \((0,1\times10^{-3})\times(9\times10^5)=\)
  3. \(0,328+(15\times10^{-2})=\)
✅ Voir les réponses

  1. \[(24\times10^{-4})\times(7\times10^{-2}) =(24\times7)\times10^{-4+(-2)} =168\times10^{-6} =1,68\times10^2\times10^{-6} =1,68\times10^{-4}\]

  2. \[(0,1\times10^{-3})\times(9\times10^5) =(0,1\times9)\times10^{-3+5} =0,9\times10^2 =9\times10^1\]

  3. \[0,328+(15\times10^{-2}) = 0,328+0,15 = 0,478 = 4,78\times10^{-1}\]

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