Cours de maths 4e · Chapitre 6
Pyramides et cônes
Le volume des solides qui se terminent en pointe : le tiers du solide droit correspondant.
I) Reconnaître ces solides
La pyramide et le cône ont un point commun : ils se terminent en pointe. Cette pointe s'appelle le sommet.
- La pyramide a une base polygonale (triangle, carré, rectangle…) et des faces triangulaires.
- Le cône a une base circulaire.
⚠️ La hauteur est la distance du sommet à la base, perpendiculairement — ce n'est pas l'arête ni la longueur du côté oblique. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
II) Les formules
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Pour les deux, c'est le tiers du solide droit correspondant : \[V_{\text{pyramide}} = \frac{\mathcal{B} \times h}{3} \qquad\qquad V_{\text{cône}} = \frac{\pi r^2 \times h}{3}\] |
💡 Une seule chose à retenir : tout ce qui se termine en pointe vaut le tiers. Un cône occupe le tiers du cylindre qui l'entoure, une pyramide le tiers du pavé. Si tu verses trois cônes d'eau dans le cylindre correspondant, il est plein.
Exemple 1 : une pyramide
Une pyramide a une base carrée de 6 cm de côté et une hauteur de 10 cm. Quel est son volume ?
✅ Voir la correction
Aire de la base :
\[\mathcal{B} = 6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2\]
Volume :
\[V = \frac{36 \times 10}{3} = \frac{360}{3} = 120 \text{ cm}^3\]
💡 Vérification de bon sens : le pavé de même base et même hauteur ferait 360 cm³. La pyramide en fait bien le tiers. ✔
Exemple 2 : un cône
Un cône a un rayon de 5 cm et une hauteur de 12 cm. Quel est son volume, arrondi au dixième ?
✅ Voir la correction
\[V = \frac{\pi \times 5^2 \times 12}{3} = \frac{\pi \times 25 \times 12}{3} = \frac{300\pi}{3} = 100\pi \approx 314{,}2 \text{ cm}^3\]
💡 Astuce : simplifie avant de sortir la calculatrice. Ici \(\frac{300}{3} = 100\), ce qui donne un calcul beaucoup plus propre que de tout multiplier d'abord.
III) Retrouver une dimension manquante
Quand on connaît le volume et qu'on cherche la hauteur ou la base, on remonte la formule.
Exemple 3 : trouver la hauteur
Une pyramide de base carrée de 4 cm de côté a un volume de 32 cm³. Quelle est sa hauteur ?
✅ Voir la correction
L'aire de la base vaut \(4 \times 4 = 16\) cm². On écrit la formule :
\[32 = \frac{16 \times h}{3}\]
On multiplie les deux côtés par 3 :
\[96 = 16 \times h \;\Longrightarrow\; h = \frac{96}{16} = 6 \text{ cm}\]
Vérification : \(\frac{16 \times 6}{3} = 32\) ✔
IV) Le patron d'un cône
Le patron d'un cône est formé d'un disque (la base) et d'une portion de disque (la surface latérale) — pas d'un triangle, contrairement à ce qu'on imagine souvent en regardant le dessin.
💡 Si tu découpes un cône en papier le long d'une ligne droite du sommet à la base et que tu l'aplatis, tu obtiens un morceau de disque. C'est ce qui explique la forme du patron.
À toi de jouer
- Volume d'une pyramide de base 20 cm² et de hauteur 9 cm.
- Volume d'un cône de rayon 3 cm et de hauteur 7 cm (valeur exacte puis arrondie).
- Un cône et un cylindre ont la même base et la même hauteur. Quel rapport entre leurs volumes ?
- Une pyramide de hauteur 12 cm a un volume de 100 cm³. Quelle est l'aire de sa base ?
✅ Voir les réponses
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\[V = \frac{20 \times 9}{3} = 60 \text{ cm}^3\]
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\[V = \frac{\pi \times 9 \times 7}{3} = 21\pi \approx 66 \text{ cm}^3\]
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Le cône fait le tiers du cylindre.
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\[100 = \frac{\mathcal{B} \times 12}{3} = 4\mathcal{B} \;\Longrightarrow\; \mathcal{B} = 25 \text{ cm}^2\]
Ce qu'il faut retenir
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