Cours de maths 4e · Chapitre 3
Racines carrées
Les propriétés des racines carrées, les carrés parfaits à connaître, et des exercices pour simplifier et encadrer sans calculatrice.
I) Les formules et exemples
📖 Propriétés
\[\sqrt{a\times b}=\sqrt a\times\sqrt b\]
\[\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b} \qquad (b>0)\]
\[\sqrt{a^2}=a \qquad (a\ge0)\]
✏️ Applications
\[\sqrt{12} = \sqrt{4\times3} = 2\sqrt3\]
\[\sqrt{\frac{12}{27}} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{27}} = \frac{2\sqrt3}{3\sqrt3} = \frac23\]
\[\sqrt{4^2}=4\]
II) Les carrés parfaits
📖 À connaître
Les carrés parfaits sont les carrés des nombres entiers.
Les connaître permet de simplifier rapidement les racines carrées.
| Nombre | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Carré | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) | \(16\) | \(25\) | \(36\) | \(49\) | \(64\) | \(81\) | \(100\) | \(121\) | \(144\) | \(169\) | \(196\) | \(225\) |
Exercice 1 : Sans calculatrice, calculer
- \(\sqrt4=\)
- \(\sqrt{16}=\)
- \(\sqrt{49}=\)
✅ Voir les réponses
-
\[\sqrt4=2\]
-
\[\sqrt{16}=4\]
-
\[\sqrt{49}=7\]
Exercice 2 : Sans calculatrice, calculer
- \(\sqrt9=\)
- \(\sqrt{25}=\)
- \(\sqrt{100}=\)
- \(\sqrt{64}=\)
- \(\sqrt1=\)
- \(\sqrt0=\)
✅ Voir les réponses
-
\[\sqrt9=3\]
-
\[\sqrt{25}=5\]
-
\[\sqrt{100}=10\]
-
\[\sqrt{64}=8\]
-
\[\sqrt1=1\]
-
\[\sqrt0=0\]
Exercice 3 : Sans calculatrice, encadrer les nombres suivants entre deux entiers consécutifs
- \(\ldots<\sqrt{29}<\ldots\)
- \(\ldots<\sqrt{11}<\ldots\)
- \(\ldots<\sqrt{85}<\ldots\)
- \(\ldots<\sqrt{65}<\ldots\)
- \(\ldots<\sqrt{57}<\ldots\)
✅ Voir les réponses
-
\[25<29<36\]
\[5<\sqrt{29}<6\]
-
\[9<11<16\]
\[3<\sqrt{11}<4\]
-
\[81<85<100\]
\[9<\sqrt{85}<10\]
-
\[64<65<81\]
\[8<\sqrt{65}<9\]
-
\[49<57<64\]
\[7<\sqrt{57}<8\]
Exercice 4
Simplifier sans utiliser de calculatrice :
\[\frac{\sqrt5\times\sqrt5\times\sqrt5\times\sqrt5\times\sqrt5} {\sqrt5+\sqrt5+\sqrt5+\sqrt5+\sqrt5}\]
✅ Voir la correction
\[\begin{aligned} \frac{\sqrt5\times\sqrt5\times\sqrt5\times\sqrt5\times\sqrt5} {\sqrt5+\sqrt5+\sqrt5+\sqrt5+\sqrt5} &= \frac{(\sqrt5)^5}{5\sqrt5}\\ &= \frac{25\sqrt5}{5\sqrt5}\\ &=5 \end{aligned}\]
Exercice 5
Calculer l'aire d'un carré dont le côté mesure
\[20\sqrt{17}\ \text{cm}.\]
✅ Voir la correction
\[\begin{aligned} A&=c^2\\ &=(20\sqrt{17})^2\\ &=20^2\times(\sqrt{17})^2\\ &=400\times17\\ &=6800\ \text{cm}^2 \end{aligned}\]
Exercice 6
- \(8\sqrt{49}+5\sqrt{36}=\)
- \(8\sqrt9+10\sqrt{36}=\)
- \(5\sqrt{16}+10\sqrt4=\)
- \(4\sqrt{16}+4\sqrt{100}=\)
✅ Voir les réponses
-
\[\begin{aligned} 8\sqrt{49}+5\sqrt{36} &=8\times7+5\times6\\ &=56+30\\ &=86 \end{aligned}\]
-
\[\begin{aligned} 8\sqrt9+10\sqrt{36} &=8\times3+10\times6\\ &=24+60\\ &=84 \end{aligned}\]
-
\[\begin{aligned} 5\sqrt{16}+10\sqrt4 &=5\times4+10\times2\\ &=20+20\\ &=40 \end{aligned}\]
-
\[\begin{aligned} 4\sqrt{16}+4\sqrt{100} &=4\times4+4\times10\\ &=16+40\\ &=56 \end{aligned}\]
Exercice 7
- \(5\sqrt{16}-8\sqrt9=\)
- \(7\sqrt{100}-10\sqrt4=\)
- \(9\sqrt{16}-5\sqrt{100}=\)
- \(5\sqrt{81}-2\sqrt{100}=\)
✅ Voir les réponses
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\[\begin{aligned} 5\sqrt{16}-8\sqrt9 &=5\times4-8\times3\\ &=20-24\\ &=-4 \end{aligned}\]
-
\[\begin{aligned} 7\sqrt{100}-10\sqrt4 &=7\times10-10\times2\\ &=70-20\\ &=50 \end{aligned}\]
-
\[\begin{aligned} 9\sqrt{16}-5\sqrt{100} &=9\times4-5\times10\\ &=36-50\\ &=-14 \end{aligned}\]
-
\[\begin{aligned} 5\sqrt{81}-2\sqrt{100} &=5\times9-2\times10\\ &=45-20\\ &=25 \end{aligned}\]