Cours de maths 1re · Chapitre 2
Dérivées
Tangente et nombre dérivé, dérivées des fonctions usuelles, règles de calcul, fonctions composées, et lien entre dérivée et sens de variation.
On dit qu'une fonction \(f\) est dérivable en un point \(a\) de son ensemble de définition si le taux de variation admet une limite finie quand \(h\) tend vers \(0\) :
\[\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} f'(a)\]
Ce nombre \(f'(a)\), quand il existe, s'appelle le nombre dérivé de \(f\) en \(a\).
Interprétation graphique : la tangente
Le nombre dérivé \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d'abscisse \(a\).
L'équation de cette tangente est :
\[y = f'(a)(x - a) + f(a)\]
💡 Astuce : plus \(h\) est petit, plus la droite qui relie les points d'abscisses \(a\) et \(a+h\) « ressemble » à la tangente.
Fonction dérivée
Quand \(f\) est dérivable en tout point d'un intervalle \(I\), on définit une nouvelle fonction, la fonction dérivée \(f'\), qui à chaque \(x\) de \(I\) associe le nombre dérivé \(f'(x)\).
Dérivées des fonctions usuelles
| Fonction \(f\) | Dérivée \(f'\) |
|---|---|
| \(f(x) = k\) (constante) | \(f'(x) = 0\) |
| \(f(x) = x\) | \(f'(x) = 1\) |
| \(f(x) = x^2\) | \(f'(x) = 2x\) |
| \(f(x) = x^n\) (\(n \in \mathbb{N}^*\)) | \(f'(x) = nx^{n-1}\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) | \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\) |
| \(f(x) = \sqrt{x}\) | \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) |
Règles de calcul
Pour \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables, et \(k\) un réel :
- Somme : \((u+v)' = u' + v'\)
- Produit par une constante : \((ku)' = ku'\)
- Produit : \((uv)' = u'v + uv'\)
- Quotient : \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) (avec \(v \neq 0\))
Dérivées de fonctions composées
Pour \(u\) une fonction dérivable, on peut dériver des fonctions comme \(u^n\), \(\sqrt{u}\), ou \(\frac{1}{u}\) sans connaître l'expression exacte de \(u\) :
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(u^n\) (\(n \in \mathbb{Z}^*\)) | \(n\,u' u^{n-1}\) | |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) | \(u > 0\) |
| \(\dfrac{1}{u}\) | \(-\dfrac{u'}{u^2}\) | \(u \neq 0\) |
| \(e^{u}\) | \(u'\,e^{u}\) | |
| \(\sin(u)\) | \(u' \cos(u)\) | |
| \(\cos(u)\) | \(-u' \sin(u)\) |
Cas particulier : composée avec une fonction affine
Si \(g(x) = f(ax+b)\) avec \(f\) dérivable, alors :
\[g'(x) = a \times f'(ax+b)\]
Exemple : si \(g(x) = (3x+1)^2\), on pose \(u(x) = 3x+1\) donc \(u'(x) = 3\), et \(g'(x) = 2 \times 3 \times (3x+1) = 6(3x+1)\).
Formule générale de composition
Pour \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables telles que \(v \circ u\) soit définie :
\[(v \circ u)'(x) = u'(x) \times v'\big(u(x)\big)\]
💡 C'est cette formule générale qui explique toutes les lignes du tableau ci-dessus : chaque cas (\(u^n\), \(\sqrt{u}\), \(e^u\)...) est une application particulière de \(v\circ u\) avec \(v\) = fonction usuelle correspondante.
Dérivée et sens de variation
C'est le lien le plus important à retenir :
- Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle \(I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) < 0\) sur un intervalle \(I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) = 0\) sur un intervalle \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).
Étudier les variations d'une fonction revient donc à étudier le signe de sa dérivée.
Exemple
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).
- On calcule la dérivée : \(f'(x) = 2x - 4\).
- On étudie son signe : \(f'(x) = 0 \iff x = 2\), et \(f'(x) > 0\) pour \(x > 2\).
- On en déduit que \(f\) est décroissante sur \(]-\infty ; 2]\) puis croissante sur \([2 ; +\infty[\).