# Introduction La trigonométrie est une branche des mathématiques qui permet d'étudier les relations entre les angles et les longueurs. Elle intervient dans de nombreux domaines : - la physique ; - l'astronomie ; - la navigation ; - l'architecture ; - l'informatique ; - l'étude des phénomènes périodiques (ondes, sons, courant électrique...). En classe de Première, on découvre principalement : - le cercle trigonométrique ; - la mesure des angles en radians ; - les fonctions sinus et cosinus. --- # I. Le cercle trigonométrique ## Définition Le **cercle trigonométrique** est le cercle : - de centre \(O\), - de rayon \(1\), - orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le point de départ est toujours \[ I(1;0) \] Lorsque l'on tourne dans le sens direct, on parcourt le cercle dans le sens positif. --- ## Représentation ![](https://jkmaths.fr/espace/media/image_20260731_111942_a153a62605.png) --- ### À retenir Le sens positif est : - le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le sens négatif est : - le sens des aiguilles d'une montre. --- # II. Le radian ## Pourquoi une nouvelle unité ? Jusqu'à présent, les angles étaient mesurés en degrés. Exemple : - \(30^\circ\) - \(45^\circ\) - \(90^\circ\) En mathématiques, il est souvent plus pratique d'utiliser une nouvelle unité : > **le radian.** --- ## Définition Un radian correspond à un angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. Dans le cercle trigonométrique, le rayon vaut \[ 1 \] Ainsi, > un angle de **1 radian** intercepte un arc de longueur **1**. --- ## Relation entre degrés et radians Un tour complet correspond : - à \(360^\circ\), - ou à \[ 2\pi \] radians. On obtient donc : \[ 180^\circ=\pi \] Puis \[ 90^\circ=\frac{\pi}{2} \] --- ## Tableau de conversion | Degrés | Radians | |---------|----------| | \(0^\circ\) | \(0\) | | \(30^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | | \(45^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | | \(60^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | | \(90^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | | \(120^\circ\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | | \(135^\circ\) | \(\dfrac{3\pi}{4}\) | | \(150^\circ\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | | \(180^\circ\) | \(\pi\) | | \(270^\circ\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | | \(360^\circ\) | \(2\pi\) | --- # Méthode ## Convertir des degrés en radians On utilise \[ 180^\circ=\pi \] Puis on effectue un produit en croix. --- ### Exemple Convertir \[ 120^\circ \] en radians.

✅ Correction

On écrit \[ 180^\circ=\pi \] Ainsi \[ 120\times\frac{\pi}{180} \] On simplifie \[ =\frac{2\pi}{3} \] **Réponse :** \[ 120^\circ=\frac{2\pi}{3} \]

--- ### Exemple Convertir \[ 225^\circ \]

✅ Correction

On calcule \[ 225\times\frac{\pi}{180} \] Puis \[ =\frac{5\pi}{4} \]

--- # Méthode ## Convertir des radians en degrés On utilise cette fois \[ \pi=180^\circ \] --- ### Exemple Convertir \[ \frac{7\pi}{6} \] en degrés.

✅ Correction

On multiplie par \[ 180 \] \[ \frac{7\pi}{6} = \frac{7\times180}{6} \] \[ =210^\circ \]

--- ### Exemple Convertir \[ \frac{5\pi}{3} \]

✅ Correction

\[ \frac{5\times180}{3} = 300^\circ \]

--- # III. Les principaux points du cercle Les quatre points fondamentaux sont : | Point | Angle | |--------|--------| | \(I\) | \(0\) | | \(J\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | | \(-I\) | \(\pi\) | | \(-J\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | --- # À retenir ✔ Un tour complet vaut \[ 2\pi \] ✔ Les radians sont l'unité privilégiée en mathématiques. ✔ Il faut connaître parfaitement les conversions usuelles. ✔ Le cercle trigonométrique est la base de tout le chapitre. --- # Ce qu'il faut savoir faire À la fin de cette partie, vous devez être capable de : - ✔ convertir des degrés en radians ; - ✔ convertir des radians en degrés ; - ✔ connaître les principaux angles remarquables ; - ✔ se repérer sur le cercle trigonométrique. # II. La mesure des angles en radians ## Pourquoi utiliser les radians ? Jusqu'à présent, les angles étaient presque toujours exprimés en **degrés**. Exemples : - \(45^\circ\) - \(90^\circ\) - \(180^\circ\) En mathématiques, et plus particulièrement en trigonométrie, on utilise très souvent une autre unité : > **le radian**. Le radian est l'unité naturelle des angles. Toutes les formules importantes de trigonométrie utilisent cette unité. --- ## Définition du radian Considérons un cercle de rayon \(R\). Un angle mesure **1 radian** lorsque la longueur de l'arc intercepté est exactement égale au rayon du cercle. Autrement dit : - longueur de l'arc = rayon Cette définition ne dépend pas de la taille du cercle. --- ### Illustration ![](https://jkmaths.fr/espace/media/image_20260731_132426_93937aba5c.png) --- ## Combien vaut un tour complet ? On sait que : - la circonférence d'un cercle vaut \[ 2\pi R \] Comme un radian correspond à un arc de longueur \(R\), le nombre de radians dans un tour complet est \[ \frac{2\pi R}{R}=2\pi. \] Ainsi, \[ \boxed{360^\circ = 2\pi\ \text{radians}} \] Cette égalité est la plus importante du chapitre. --- ## Les principales conversions À partir de \[ 360^\circ = 2\pi \] on obtient facilement : | Degrés | Radians | |---------|----------| | \(0^\circ\) | \(0\) | | \(30^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | | \(45^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | | \(60^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | | \(90^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | | \(120^\circ\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | | \(135^\circ\) | \(\dfrac{3\pi}{4}\) | | \(150^\circ\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | | \(180^\circ\) | \(\pi\) | | \(210^\circ\) | \(\dfrac{7\pi}{6}\) | | \(225^\circ\) | \(\dfrac{5\pi}{4}\) | | \(240^\circ\) | \(\dfrac{4\pi}{3}\) | | \(270^\circ\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | | \(300^\circ\) | \(\dfrac{5\pi}{3}\) | | \(315^\circ\) | \(\dfrac{7\pi}{4}\) | | \(330^\circ\) | \(\dfrac{11\pi}{6}\) | | \(360^\circ\) | \(2\pi\) | --- ## Comment convertir ? ### Degrés → radians On multiplie par \[ \frac{\pi}{180}. \] Autrement dit, \[ \boxed{\text{Radians}=\text{Degrés}\times\frac{\pi}{180}} \] --- ### Exemple 1 Convertir \(120^\circ\).

Correction

On applique la formule : \[ 120\times\frac{\pi}{180} =\frac{120\pi}{180} =\frac{2\pi}{3}. \] Ainsi, \[ \boxed{120^\circ=\frac{2\pi}{3}} \]

--- ### Exemple 2 Convertir \(315^\circ\).

Correction

\[ 315\times\frac{\pi}{180} =\frac{315\pi}{180} =\frac{7\pi}{4}. \] Donc \[ \boxed{315^\circ=\frac{7\pi}{4}} \]

--- ## Radians → degrés Cette fois, on multiplie par \[ \frac{180}{\pi}. \] On obtient \[ \boxed{\text{Degrés}=\text{Radians}\times\frac{180}{\pi}} \] --- ### Exemple 3 Convertir \[ \frac{5\pi}{6}. \]

Correction

\[ \frac{5\pi}{6}\times\frac{180}{\pi} =5\times30 =150. \] Donc \[ \boxed{\frac{5\pi}{6}=150^\circ} \]

--- ### Exemple 4 Convertir \[ \frac{7\pi}{4}. \]

Correction

\[ \frac{7\pi}{4}\times\frac{180}{\pi} =7\times45 =315. \] Ainsi, \[ \boxed{\frac{7\pi}{4}=315^\circ} \]

--- ## Astuce À force de travailler en trigonométrie, certaines conversions doivent devenir automatiques. Par exemple : - \(\pi=\boxed{180^\circ}\) - \(\dfrac{\pi}{2}=\boxed{90^\circ}\) - \(\dfrac{\pi}{3}=\boxed{60^\circ}\) - \(\dfrac{\pi}{4}=\boxed{45^\circ}\) - \(\dfrac{\pi}{6}=\boxed{30^\circ}\) Les connaître par cœur fera gagner beaucoup de temps. --- ## À retenir ✅ Le tour complet vaut \[ 2\pi. \] ✅ \[ 360^\circ=2\pi. \] ✅ \[ \boxed{\text{Radians}=\text{Degrés}\times\frac{\pi}{180}} \] ✅ \[ \boxed{\text{Degrés}=\text{Radians}\times\frac{180}{\pi}} \] --- # Questions fréquentes ### Pourquoi les mathématiciens utilisent-ils les radians ? Parce que toutes les formules importantes de trigonométrie, de dérivation et d'analyse sont beaucoup plus simples en radians. --- ### Est-ce qu'on peut toujours utiliser les degrés ? Oui, mais en Première puis en Terminale, les exercices utilisent presque toujours les radians. --- ### Faut-il apprendre les conversions par cœur ? Oui. Les angles remarquables sont utilisés dans presque tous les exercices de trigonométrie. --- ### Le radian est-il une longueur ? Non. Le radian est une **mesure d'angle**, même si sa définition repose sur la longueur d'un arc de cercle. --- ### Pourquoi trouve-t-on souvent \(\pi\) en trigonométrie ? Parce que la longueur d'un cercle dépend de \(\pi\), et que les radians sont directement définis à partir de la circonférence.

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