Cours de maths 1re · Chapitre 5
Fonctions trigonométriques
Le cercle trigonométrique et le radian : pourquoi cette unité, comment convertir degrés et radians, et les points du cercle à connaître.
Introduction
La trigonométrie est une branche des mathématiques qui permet d'étudier les relations entre les angles et les longueurs.
Elle intervient dans de nombreux domaines :
- la physique ;
- l'astronomie ;
- la navigation ;
- l'architecture ;
- l'informatique ;
- l'étude des phénomènes périodiques (ondes, sons, courant électrique...).
En classe de Première, on découvre principalement :
- le cercle trigonométrique ;
- la mesure des angles en radians ;
- les fonctions sinus et cosinus.
I. Le cercle trigonométrique
Définition
Le cercle trigonométrique est le cercle :
- de centre \(O\),
- de rayon \(1\),
- orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Le point de départ est toujours
\[I(1;0)\]
Lorsque l'on tourne dans le sens direct, on parcourt le cercle dans le sens positif.
Représentation
À retenir
Le sens positif est :
- le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Le sens négatif est :
- le sens des aiguilles d'une montre.
II. Le radian
Pourquoi une nouvelle unité ?
Jusqu'à présent, les angles étaient mesurés en degrés.
Exemple :
- \(30^\circ\)
- \(45^\circ\)
- \(90^\circ\)
En mathématiques, il est souvent plus pratique d'utiliser une nouvelle unité :
le radian.
Définition
Un radian correspond à un angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon.
Dans le cercle trigonométrique, le rayon vaut
\[1\]
Ainsi,
un angle de 1 radian intercepte un arc de longueur 1.
Relation entre degrés et radians
Un tour complet correspond :
- à \(360^\circ\),
- ou à
\[2\pi\]
radians.
On obtient donc :
\[180^\circ=\pi\]
Puis
\[90^\circ=\frac{\pi}{2}\]
Tableau de conversion
| Degrés | Radians |
|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) |
| \(30^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) |
| \(45^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) |
| \(60^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) |
| \(90^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) |
| \(120^\circ\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) |
| \(135^\circ\) | \(\dfrac{3\pi}{4}\) |
| \(150^\circ\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) |
| \(180^\circ\) | \(\pi\) |
| \(270^\circ\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
| \(360^\circ\) | \(2\pi\) |
Méthode
Convertir des degrés en radians
On utilise
\[180^\circ=\pi\]
Puis on effectue un produit en croix.
Exemple
Convertir
\[120^\circ\]
en radians.
✅ Correction
On écrit
\[180^\circ=\pi\]
Ainsi
\[120\times\frac{\pi}{180}\]
On simplifie
\[=\frac{2\pi}{3}\]
Réponse :
\[120^\circ=\frac{2\pi}{3}\]
Exemple
Convertir
\[225^\circ\]
✅ Correction
On calcule
\[225\times\frac{\pi}{180}\]
Puis
\[=\frac{5\pi}{4}\]
Méthode
Convertir des radians en degrés
On utilise cette fois
\[\pi=180^\circ\]
Exemple
Convertir
\[\frac{7\pi}{6}\]
en degrés.
✅ Correction
On multiplie par
\[180\]
\[\frac{7\pi}{6} = \frac{7\times180}{6}\]
\[=210^\circ\]
Exemple
Convertir
\[\frac{5\pi}{3}\]
✅ Correction
\[\frac{5\times180}{3} = 300^\circ\]
III. Les principaux points du cercle
Les quatre points fondamentaux sont :
| Point | Angle |
|---|---|
| \(I\) | \(0\) |
| \(J\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) |
| \(-I\) | \(\pi\) |
| \(-J\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
À retenir
✔ Un tour complet vaut
\[2\pi\]
✔ Les radians sont l'unité privilégiée en mathématiques.
✔ Il faut connaître parfaitement les conversions usuelles.
✔ Le cercle trigonométrique est la base de tout le chapitre.
Ce qu'il faut savoir faire
À la fin de cette partie, vous devez être capable de :
- ✔ convertir des degrés en radians ;
- ✔ convertir des radians en degrés ;
- ✔ connaître les principaux angles remarquables ;
- ✔ se repérer sur le cercle trigonométrique.
II. La mesure des angles en radians
Pourquoi utiliser les radians ?
Jusqu'à présent, les angles étaient presque toujours exprimés en degrés.
Exemples :
- \(45^\circ\)
- \(90^\circ\)
- \(180^\circ\)
En mathématiques, et plus particulièrement en trigonométrie, on utilise très souvent une autre unité :
le radian.
Le radian est l'unité naturelle des angles. Toutes les formules importantes de trigonométrie utilisent cette unité.
Définition du radian
Considérons un cercle de rayon \(R\).
Un angle mesure 1 radian lorsque la longueur de l'arc intercepté est exactement égale au rayon du cercle.
Autrement dit :
- longueur de l'arc = rayon
Cette définition ne dépend pas de la taille du cercle.
Illustration
Combien vaut un tour complet ?
On sait que :
- la circonférence d'un cercle vaut
\[2\pi R\]
Comme un radian correspond à un arc de longueur \(R\),
le nombre de radians dans un tour complet est
\[\frac{2\pi R}{R}=2\pi.\]
Ainsi,
\[\boxed{360^\circ = 2\pi\ \text{radians}}\]
Cette égalité est la plus importante du chapitre.
Les principales conversions
À partir de
\[360^\circ = 2\pi\]
on obtient facilement :
| Degrés | Radians |
|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) |
| \(30^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) |
| \(45^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) |
| \(60^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) |
| \(90^\circ\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) |
| \(120^\circ\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) |
| \(135^\circ\) | \(\dfrac{3\pi}{4}\) |
| \(150^\circ\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) |
| \(180^\circ\) | \(\pi\) |
| \(210^\circ\) | \(\dfrac{7\pi}{6}\) |
| \(225^\circ\) | \(\dfrac{5\pi}{4}\) |
| \(240^\circ\) | \(\dfrac{4\pi}{3}\) |
| \(270^\circ\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
| \(300^\circ\) | \(\dfrac{5\pi}{3}\) |
| \(315^\circ\) | \(\dfrac{7\pi}{4}\) |
| \(330^\circ\) | \(\dfrac{11\pi}{6}\) |
| \(360^\circ\) | \(2\pi\) |
Comment convertir ?
Degrés → radians
On multiplie par
\[\frac{\pi}{180}.\]
Autrement dit,
\[\boxed{\text{Radians}=\text{Degrés}\times\frac{\pi}{180}}\]
Exemple 1
Convertir \(120^\circ\).
Correction
On applique la formule :
\[120\times\frac{\pi}{180} =\frac{120\pi}{180} =\frac{2\pi}{3}.\]
Ainsi,
\[\boxed{120^\circ=\frac{2\pi}{3}}\]
Exemple 2
Convertir \(315^\circ\).
Correction
\[315\times\frac{\pi}{180} =\frac{315\pi}{180} =\frac{7\pi}{4}.\]
Donc
\[\boxed{315^\circ=\frac{7\pi}{4}}\]
Radians → degrés
Cette fois, on multiplie par
\[\frac{180}{\pi}.\]
On obtient
\[\boxed{\text{Degrés}=\text{Radians}\times\frac{180}{\pi}}\]
Exemple 3
Convertir
\[\frac{5\pi}{6}.\]
Correction
\[\frac{5\pi}{6}\times\frac{180}{\pi} =5\times30 =150.\]
Donc
\[\boxed{\frac{5\pi}{6}=150^\circ}\]
Exemple 4
Convertir
\[\frac{7\pi}{4}.\]
Correction
\[\frac{7\pi}{4}\times\frac{180}{\pi} =7\times45 =315.\]
Ainsi,
\[\boxed{\frac{7\pi}{4}=315^\circ}\]
Astuce
À force de travailler en trigonométrie, certaines conversions doivent devenir automatiques.
Par exemple :
-
\(\pi=\boxed{180^\circ}\)
-
\(\dfrac{\pi}{2}=\boxed{90^\circ}\)
-
\(\dfrac{\pi}{3}=\boxed{60^\circ}\)
-
\(\dfrac{\pi}{4}=\boxed{45^\circ}\)
-
\(\dfrac{\pi}{6}=\boxed{30^\circ}\)
Les connaître par cœur fera gagner beaucoup de temps.
À retenir
✅ Le tour complet vaut
\[2\pi.\]
✅
\[360^\circ=2\pi.\]
✅
\[\boxed{\text{Radians}=\text{Degrés}\times\frac{\pi}{180}}\]
✅
\[\boxed{\text{Degrés}=\text{Radians}\times\frac{180}{\pi}}\]
Questions fréquentes
Pourquoi les mathématiciens utilisent-ils les radians ?
Parce que toutes les formules importantes de trigonométrie, de dérivation et d'analyse sont beaucoup plus simples en radians.
Est-ce qu'on peut toujours utiliser les degrés ?
Oui, mais en Première puis en Terminale, les exercices utilisent presque toujours les radians.
Faut-il apprendre les conversions par cœur ?
Oui. Les angles remarquables sont utilisés dans presque tous les exercices de trigonométrie.
Le radian est-il une longueur ?
Non.
Le radian est une mesure d'angle, même si sa définition repose sur la longueur d'un arc de cercle.
Pourquoi trouve-t-on souvent \(\pi\) en trigonométrie ?
Parce que la longueur d'un cercle dépend de \(\pi\), et que les radians sont directement définis à partir de la circonférence.