Cours de maths 1re · Chapitre 6
Le produit scalaire
Trois expressions du produit scalaire, orthogonalité, calcul d'angles et théorème d'Al-Kashi.
Jusqu'ici, deux vecteurs pouvaient s'additionner. Le produit scalaire leur permet de se multiplier — et le résultat n'est pas un vecteur, mais un nombre. C'est ce nombre qui va donner accès aux angles et aux longueurs.
I) Trois expressions du même produit
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Coordonnées \[\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'\] |
Avec l'angle \[\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta\] |
Avec les normes \[\vec{u} \cdot \vec{v} = \tfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)\] |
💡 Trois écritures, un seul objet. On choisit celle qui correspond aux données : des coordonnées → la première ; un angle et des longueurs → la deuxième. Savoir choisir vaut mieux que savoir les trois par cœur.
II) Le résultat qui sert partout
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\[\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\] |
⭐ C'est l'intérêt principal du chapitre : une question d'angle droit devient une addition de deux produits. Démontrer qu'un triangle est rectangle, qu'une droite est une hauteur, que deux droites sont perpendiculaires — tout passe par là.
⚠️ Un produit scalaire nul ne signifie pas qu'un des vecteurs est nul. Contrairement aux nombres, \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) avec \(\vec{u} \neq \vec{0}\) et \(\vec{v} \neq \vec{0}\) est le cas normal : celui de deux vecteurs perpendiculaires.
III) Propriétés de calcul
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\[\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\] \[\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}\] |
\[\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2\] on le note \(\vec{u}^{\,2}\) |
💡 Les identités remarquables se transposent : \(\;\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\). On développe comme avec des nombres, en remplaçant les carrés par des normes au carré.
Exemple 1 : montrer un angle droit
Soit \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;3)\) et \(C(2\,;8)\). Le triangle \(ABC\) est-il rectangle en \(A\) ?
✅ Voir la correction
On calcule les deux vecteurs partant de \(A\) :
\[\vec{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \vec{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}\]
Puis leur produit scalaire :
\[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \times 1 + 1 \times 6 = 3 + 6 = 9\]
Il n'est pas nul : le triangle n'est pas rectangle en \(A\).
💡 Le sommet de l'angle droit dicte les vecteurs à choisir : pour un angle droit en \(A\), ce sont \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) — tous deux partant de \(A\). Prendre \(\vec{AB}\) et \(\vec{BC}\) testerait l'angle en \(B\).
Exemple 2 : calculer un angle
Soit \(\vec{u}(3\,;4)\) et \(\vec{v}(1\,;2)\). Déterminer une valeur approchée de l'angle entre ces deux vecteurs.
✅ Voir la correction
Produit scalaire par les coordonnées :
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 1 + 4 \times 2 = 11\]
Normes :
\[\|\vec{u}\| = \sqrt{9+16} = 5 \qquad \|\vec{v}\| = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}\]
On utilise alors la deuxième expression :
\[\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \frac{11}{5\sqrt{5}} \approx 0{,}984\]
\[\theta = \arccos(0{,}984) \approx 10{,}3°\]
💡 La méthode générale : calculer le produit scalaire d'un côté, les normes de l'autre, puis diviser. Le cosinus obtenu doit toujours être compris entre \(-1\) et \(1\) — sinon il y a une erreur de calcul, et c'est un contrôle gratuit.
IV) Applications géométriques
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Théorème d'Al-Kashi — le Pythagore des triangles quelconques : \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}\] |
💡 Quand l'angle \(\widehat{A}\) est droit, \(\cos\widehat{A} = 0\) et la formule redevient \(a^2 = b^2 + c^2\) : Pythagore n'est qu'un cas particulier. Le terme \(-2bc\cos\widehat{A}\) est exactement la correction due au fait que l'angle n'est pas droit.
Exemple 3 : Al-Kashi
Dans un triangle, \(b = 5\), \(c = 7\) et \(\widehat{A} = 60°\). Calculer \(a\).
✅ Voir la correction
\[a^2 = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 74 - 70 \times 0{,}5 = 74 - 35 = 39\]
\[a = \sqrt{39} \approx 6{,}24\]
⚠️ Deux vérifications de bon sens : \(a\) doit être compris entre \(|b - c| = 2\) et \(b + c = 12\) (inégalité triangulaire) — c'est le cas. Et comme l'angle est inférieur à \(90°\), on attend \(a\) plus petit que l'hypoténuse qu'on aurait avec un angle droit (\(\sqrt{74} \approx 8{,}6\)) : cohérent.
À toi de jouer
- Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) pour \(\vec{u}(2\,;-3)\) et \(\vec{v}(4\,;1)\).
- Ces deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?
- \(\vec{a}(1\,;2)\) et \(\vec{b}(-4\,;2)\) : sont-ils perpendiculaires ?
- Calculer \(\|\vec{u}\|\) pour \(\vec{u}(5\,;-12)\).
- Dans un triangle, \(b = 3\), \(c = 4\) et \(\widehat{A} = 90°\). Calculer \(a\) avec Al-Kashi et vérifier.
✅ Voir les réponses
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\[\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 4 + (-3) \times 1 = 8 - 3 = 5\]
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Non : le produit scalaire vaut \(5 \neq 0\).
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\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times (-4) + 2 \times 2 = -4 + 4 = 0\]
Oui, ils sont orthogonaux.
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\[\|\vec{u}\| = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\]
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\[a^2 = 9 + 16 - 2 \times 3 \times 4 \times \cos 90° = 25 - 0 = 25 \quad\Rightarrow\quad a = 5\]
On retrouve bien Pythagore : le terme en cosinus s'annule.
Ce qu'il faut retenir
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