I. Introduction

Pourquoi une nouvelle fonction ?

Dans les chapitres précédents, nous avons étudié les fonctions polynomiales, les fonctions affines ou encore les fonctions rationnelles.

Cependant, certains phénomènes de la vie réelle ne sont pas correctement modélisés par ces fonctions.

Par exemple :

• la population d'une ville ;
• le nombre de bactéries dans une culture ;
• un capital placé à intérêts composés ;
• la décroissance radioactive.

Dans tous ces exemples, la quantité augmente (ou diminue) proportionnellement à sa valeur actuelle.

On utilise alors une nouvelle fonction : la fonction exponentielle, notée

\[x\longmapsto e^x.\]

Cette fonction est l'une des plus importantes des mathématiques.

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Exemple

Une population de bactéries double toutes les heures.

Temps (h)	Population
0	100
1	200
2	400
3	800
4	1600

On remarque que la population est multipliée par 2 à chaque heure.

Cette évolution n'est pas linéaire.

Elle est exponentielle.

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Le nombre \(e\)

La fonction exponentielle utilise un nombre particulier appelé nombre d'Euler.

On le note

\[e\]

et sa valeur approchée est

\[e\approx2,718281828.\]

Comme le nombre \(\pi\), il possède une infinité de décimales.

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II. Définition de la fonction exponentielle

Définition

La fonction exponentielle est la fonction notée

\[f(x)=e^x.\]

À tout réel \(x\), elle associe le nombre

\[e^x.\]

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Quelques valeurs

\(x\)	\(e^x\)
-3	0,050
-2	0,135
-1	0,368
0	1
1	2,718
2	7,389
3	20,086

On remarque que :

• les images sont toujours positives ;
• plus \(x\) augmente, plus \(e^x\) augmente très rapidement.

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Première propriété

Pour tout réel \(x\),

\[e^x>0.\]

L'exponentielle n'est donc jamais nulle.

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Valeur particulière

Lorsque

\[x=0,\]

on obtient

\[e^0=1.\]

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Exemple

Calculer :

\[e^0,\qquad e^1,\qquad e^2.\]

Correction

On connaît

\[e^0=1.\]

Puis

\[e^1=e\approx2,718.\]

Enfin

\[e^2\approx7,389.\]

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III. Propriétés algébriques

La fonction exponentielle possède plusieurs propriétés fondamentales.

Elles devront être parfaitement connues.

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Produit

Pour tous réels \(a\) et \(b\),

\[e^ae^b=e^{a+b}.\]

Exemple

\[e^3\times e^5=e^8.\]

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Exemple

\[e^x\times e^{-x}=e^0=1.\]

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Quotient

Pour tous réels \(a\) et \(b\),

\[\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}.\]

Exemple

\[\frac{e^7}{e^2}=e^5.\]

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Puissance

Pour tout réel \(a\) et tout entier \(n\),

\[\left(e^a\right)^n=e^{na}.\]

Exemple

\[\left(e^x\right)^4=e^{4x}.\]

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Exposant opposé

Pour tout réel \(x\),

\[e^{-x}=\frac1{e^x}.\]

Exemple

\[e^{-3}=\frac1{e^3}.\]

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Tableau récapitulatif

Propriété	Formule
Produit	\(e^ae^b=e^{a+b}\)
Quotient	\(\displaystyle\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}\)
Puissance	\((e^a)^n=e^{na}\)
Opposé	\(\displaystyle e^{-a}=\frac1{e^a}\)
Valeur particulière	\(e^0=1\)

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À retenir

✅ \(e^x\) est toujours positif.

✅ \(e^0=1\).

✅ Les exposants s'additionnent lors d'un produit.

✅ Les exposants se soustraient lors d'un quotient.

✅ Un exposant négatif correspond à un inverse.

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Exemples

Exemple 1

Simplifier :

\[e^3\times e^7.\]

Afficher la correction

On applique la propriété :

\[e^ae^b=e^{a+b}.\]

Ainsi,

\[e^3\times e^7=e^{3+7}=e^{10}.\]

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Exemple 2

Simplifier :

\[\frac{e^{12}}{e^5}.\]

Afficher la correction

On applique la propriété :

\[\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}.\]

Ainsi,

\[\frac{e^{12}}{e^5}=e^{12-5}=e^7.\]

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Exemple 3

Simplifier :

\[e^{2x}\times e^{5x}.\]

Afficher la correction

On additionne les exposants.

\[e^{2x}e^{5x}=e^{7x}.\]

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Exemple 4

Simplifier :

\[\frac{e^{6x}}{e^{2x}}.\]

Afficher la correction

On soustrait les exposants.

\[\frac{e^{6x}}{e^{2x}}=e^{4x}.\]

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Exemple 5

Écrire sous la forme d'une seule puissance de \(e\) :

\[\left(e^{4x}\right)^3.\]

Afficher la correction

On multiplie les exposants.

\[\left(e^{4x}\right)^3=e^{12x}.\]

IV. Dérivée de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle possède une propriété remarquable.

C'est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée.

Propriété

Pour tout réel \(x\),

\[\boxed{\left(e^x\right)'=e^x}\]

Autrement dit,

La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même.

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Exemple

Calculer la dérivée de

\[f(x)=e^x.\]

Correction

On applique directement la propriété.

\[f'(x)=e^x.\]

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Cas d'une fonction composée

Lorsque l'exposant n'est plus simplement \(x\), il faut utiliser la formule suivante.

Propriété

Si

\[u(x)\]

est une fonction dérivable, alors

\[\boxed{\left(e^{u(x)}\right)'=u'(x)e^{u(x)}}\]

Il faut donc :

1. dériver l'exposant ;
2. multiplier par l'exponentielle.

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Exemple

Calculer la dérivée de

\[f(x)=e^{3x}.\]

Correction

On pose

\[u(x)=3x.\]

Alors

\[u'(x)=3.\]

Donc

\[f'(x)=3e^{3x}.\]

---

Exemple

Calculer la dérivée de

\[f(x)=e^{-2x+5}.\]

Correction

On pose

\[u(x)=-2x+5.\]

Alors

\[u'(x)=-2.\]

Ainsi,

\[f'(x)=-2e^{-2x+5}.\]

---

Exemple

Calculer la dérivée de

\[f(x)=e^{x^2}.\]

Correction

On pose

\[u(x)=x^2.\]

Alors

\[u'(x)=2x.\]

On obtient

\[f'(x)=2xe^{x^2}.\]

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Dérivée d'un produit

On rencontre souvent des fonctions de la forme

\[f(x)=u(x)e^{v(x)}.\]

On utilise alors la formule de dérivation d'un produit.

Propriété

Si

\[f(x)=u(x)e^{v(x)},\]

alors

\[\boxed{ f'(x)=u'(x)e^{v(x)} +u(x)v'(x)e^{v(x)} }\]

On peut également factoriser par \(e^{v(x)}\) :

\[\boxed{ f'(x)=\left(u'(x)+u(x)v'(x)\right)e^{v(x)} }\]

Cette écriture est souvent plus pratique.

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Exemple

Calculer la dérivée de

\[f(x)=xe^x.\]

Correction

On pose

\[u(x)=x \qquad\text{et}\qquad v(x)=x.\]

Alors

\[u'(x)=1 \qquad\text{et}\qquad v'(x)=1.\]

Ainsi,

\[f'(x) =e^x+xe^x.\]

En factorisant,

\[\boxed{ f'(x)=(x+1)e^x. }\]

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Exemple

Calculer la dérivée de

\[f(x)=x^2e^{3x}.\]

Correction

On a

\[u(x)=x^2 \qquad\text{et}\qquad v(x)=3x.\]

Donc

\[u'(x)=2x \qquad\text{et}\qquad v'(x)=3.\]

Ainsi,

\[f'(x) = 2xe^{3x} + 3x^2e^{3x}.\]

On factorise :

\[\boxed{ f'(x) = (2x+3x^2)e^{3x}. }\]

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À retenir

✔

\[(e^x)'=e^x\]

✔

\[(e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}\]

✔

Pour un produit, on applique d'abord la formule du produit puis on factorise si possible.

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Exemples

Exemple 1 – Dériver une fonction exponentielle simple

Calculer la dérivée de

\[f(x)=e^{5x}.\]

Afficher la correction

On pose

\[u(x)=5x.\]

Alors

\[u'(x)=5.\]

On applique la formule :

\[\left(e^{u(x)}\right)'=u'(x)e^{u(x)}.\]

Ainsi,

\[\boxed{f'(x)=5e^{5x}.}\]

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Exemple 2 – Dériver une exponentielle avec un coefficient négatif

Calculer la dérivée de

\[f(x)=e^{-7x}.\]

Afficher la correction

On pose

\[u(x)=-7x.\]

Alors

\[u'(x)=-7.\]

Donc,

\[\boxed{f'(x)=-7e^{-7x}.}\]

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Exemple 3 – Dériver une exponentielle dont l'exposant est un polynôme

Calculer la dérivée de

\[f(x)=e^{x^2+1}.\]

Afficher la correction

On pose

\[u(x)=x^2+1.\]

Alors

\[u'(x)=2x.\]

On applique la formule :

\[\left(e^{u(x)}\right)'=u'(x)e^{u(x)}.\]

Ainsi,

\[\boxed{f'(x)=2xe^{x^2+1}.}\]

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Exemple 4 – Dériver un produit contenant une exponentielle

Calculer la dérivée de

\[f(x)=xe^{2x}.\]

Afficher la correction

On reconnaît un produit.

On pose

\[u(x)=x \qquad\text{et}\qquad v(x)=2x.\]

Alors

\[u'(x)=1 \qquad\text{et}\qquad v'(x)=2.\]

On applique la formule du produit :

\[f'(x) = u'(x)e^{v(x)} + u(x)v'(x)e^{v(x)}.\]

Ainsi,

\[f'(x) = e^{2x} + 2xe^{2x}.\]

On factorise :

\[\boxed{ f'(x) = (2x+1)e^{2x}. }\]

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Exemple 5 – Dériver un produit avec une exponentielle décroissante

Calculer la dérivée de

\[f(x)=(x-3)e^{-x}.\]

Afficher la correction

On pose

\[u(x)=x-3 \qquad\text{et}\qquad v(x)=-x.\]

Alors

\[u'(x)=1 \qquad\text{et}\qquad v'(x)=-1.\]

On applique la formule du produit :

\[f'(x) = e^{-x} - (x-3)e^{-x}.\]

On factorise :

\[f'(x) = \left(1-(x-3)\right)e^{-x}.\]

Or,

\[1-(x-3)=4-x.\]

Finalement,

\[\boxed{ f'(x) = (4-x)e^{-x}. }\]

V. Limites de la fonction exponentielle

Les limites de la fonction exponentielle sont indispensables pour étudier les fonctions contenant une exponentielle.

Elles permettent notamment de déterminer le comportement d'une fonction lorsque la variable tend vers l'infini.

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Limite lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\)

Lorsque \(x\) devient de plus en plus grand, la fonction exponentielle augmente très rapidement.

On obtient donc :

\[\boxed{ \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty }\]

Autrement dit,

Plus \(x\) augmente, plus \(e^x\) devient très grand.

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Exemple 1 – Calculer une limite simple

Déterminer

\[\lim_{x\to+\infty}e^x.\]

Afficher la correction

On applique directement la propriété.

Lorsque

\[x\rightarrow+\infty,\]

la fonction exponentielle croît sans limite.

Ainsi,

\[\boxed{ \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty. }\]

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Limite lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\)

Lorsque \(x\) devient très négatif, l'exponentielle devient de plus en plus petite.

Elle se rapproche de zéro sans jamais l'atteindre.

On obtient :

\[\boxed{ \lim_{x\to-\infty}e^x=0 }\]

On dit que 0 est une asymptote horizontale à la courbe lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\).

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Exemple 2 – Calculer une limite vers \(-\infty\)

Déterminer

\[\lim_{x\to-\infty}e^x.\]

Afficher la correction

Lorsque

\[x\rightarrow-\infty,\]

l'exponentielle devient de plus en plus petite tout en restant strictement positive.

Ainsi,

\[\boxed{ \lim_{x\to-\infty}e^x=0. }\]

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Limites de l'exponentielle inverse

Grâce à la relation

\[e^{-x}=\frac1{e^x},\]

on obtient deux nouvelles limites très utiles.

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Propriété

Lorsque

\[x\rightarrow+\infty,\]

on a

\[\boxed{ \lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0. }\]

---

Lorsque

\[x\rightarrow-\infty,\]

on obtient

\[\boxed{ \lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty. }\]

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Exemple 3 – Limite de \(e^{-x}\)

Déterminer

\[\lim_{x\to+\infty}e^{-x}.\]

Afficher la correction

Lorsque

\[x\rightarrow+\infty,\]

on a

\[-x\rightarrow-\infty.\]

Or,

\[\lim_{X\to-\infty}e^X=0.\]

Donc,

\[\boxed{ \lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0. }\]

---

Exemple 4 – Limite de \(e^{-3x}\)

Déterminer

\[\lim_{x\to+\infty}e^{-3x}.\]

Afficher la correction

Lorsque

\[x\rightarrow+\infty,\]

on obtient

\[-3x\rightarrow-\infty.\]

Ainsi,

\[\boxed{ \lim_{x\to+\infty}e^{-3x}=0. }\]

---

Limites à connaître par cœur

Limite	Résultat
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x\)	\(+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x\)	\(0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}\)	\(0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{-x}\)	\(+\infty\)

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À retenir

✔ La fonction exponentielle est toujours positive.

✔ Lorsque l'exposant tend vers \(+\infty\), l'exponentielle tend vers \(+\infty\).

✔ Lorsque l'exposant tend vers \(-\infty\), l'exponentielle tend vers \(0\).

✔ L'exponentielle ne s'annule jamais.

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Exemples

Exemple 5 – Déterminer une limite avec un exposant affine

Déterminer

\[\lim_{x\to+\infty}e^{2x+5}.\]

Afficher la correction

Lorsque

\[x\rightarrow+\infty,\]

on a

\[2x+5\rightarrow+\infty.\]

Donc,

\[\boxed{ \lim_{x\to+\infty}e^{2x+5}=+\infty. }\]

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Exemple 6 – Déterminer une limite avec un exposant affine négatif

Déterminer

\[\lim_{x\to+\infty}e^{-4x+1}.\]

Afficher la correction

Lorsque

\[x\rightarrow+\infty,\]

on obtient

\[-4x+1\rightarrow-\infty.\]

Ainsi,

\[\boxed{ \lim_{x\to+\infty}e^{-4x+1}=0. }\]

🚀 Fiche réflexe

Pour une exponentielle :

✅ La dérivée de \(e^x\) est \(e^x\).

✅ Si l'exposant est une fonction :

\((e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}\).

✅ Exposant → \(+\infty\) ⇒ exponentielle → \(+\infty\).

✅ Exposant → \(-\infty\) ⇒ exponentielle → \(0\).

✅ L'exponentielle est toujours strictement positive.

✅ Elle ne s'annule jamais.

VI. Variations de la fonction exponentielle

Après avoir étudié les limites de la fonction exponentielle, intéressons-nous maintenant à ses variations.

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Pourquoi étudier les variations ?

Étudier les variations d'une fonction permet de savoir :

• si la fonction est croissante ou décroissante ;
• où elle atteint ses valeurs les plus petites ou les plus grandes ;
• de tracer sa courbe représentative.

Pour cela, on étudie le signe de sa dérivée.

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Propriété

On sait que

\[\boxed{ \left(e^x\right)'=e^x. }\]

Or,

\[e^x>0 \qquad \text{pour tout réel }x.\]

La dérivée est donc toujours strictement positive.

On en déduit que :

\[\boxed{ \text{La fonction exponentielle est strictement croissante sur }\mathbb{R}. }\]

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Tableau de variations

\(x\)	\(-\infty\)		\(+\infty\)
\(e^x\)	\(0\)	↗	\(+\infty\)

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Interprétation graphique

Lorsque l'on se déplace de la gauche vers la droite :

• la courbe monte constamment ;
• elle ne redescend jamais ;
• elle devient de plus en plus raide lorsque \(x\) augmente.

Autrement dit, la croissance de la fonction exponentielle s'accélère.

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📝 Méthode – Étudier les variations d'une fonction

Pour étudier les variations d'une fonction, on suit toujours les mêmes étapes.

Étape 1

Calculer la dérivée.

Étape 2

Étudier le signe de cette dérivée.

Étape 3

En déduire les variations de la fonction.

• dérivée positive ⇒ fonction croissante ;
• dérivée négative ⇒ fonction décroissante.

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Exemple 1 – Justifier que la fonction exponentielle est croissante

Montrer que la fonction

\[f(x)=e^x\]

est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Afficher la correction

On calcule la dérivée :

\[f'(x)=e^x.\]

Or,

\[e^x>0 \qquad \text{pour tout réel }x.\]

Ainsi,

\[f'(x)>0 \qquad \text{sur }\mathbb{R}.\]

La dérivée étant toujours positive,

\[\boxed{ f \text{ est strictement croissante sur }\mathbb{R}. }\]

---

Exemple 2 – Étudier les variations d'une fonction exponentielle

Étudier les variations de

\[f(x)=3e^x.\]

Afficher la correction

On dérive :

\[f'(x)=3e^x.\]

Comme

\[e^x>0,\]

on obtient

\[3e^x>0.\]

La dérivée est donc toujours positive.

Ainsi,

\[\boxed{ f \text{ est strictement croissante sur }\mathbb{R}. }\]

---

Exemple 3 – Étudier les variations de \(-e^x\)

Étudier les variations de

\[f(x)=-e^x.\]

Afficher la correction

On dérive :

\[f'(x)=-e^x.\]

Or,

\[e^x>0.\]

Donc,

\[-e^x<0.\]

La dérivée est toujours négative.

Ainsi,

\[\boxed{ f \text{ est strictement décroissante sur }\mathbb{R}. }\]

---

Exemple 4 – Étudier les variations d'une exponentielle composée

Étudier les variations de

\[f(x)=e^{2x+1}.\]

Afficher la correction

On dérive :

\[f'(x)=2e^{2x+1}.\]

Comme

\[e^{2x+1}>0,\]

on obtient

\[2e^{2x+1}>0.\]

La dérivée est donc toujours positive.

Ainsi,

\[\boxed{ f \text{ est strictement croissante sur }\mathbb{R}. }\]

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Exemple 5 – Étudier les variations d'une exponentielle décroissante

Étudier les variations de

\[f(x)=e^{-3x}.\]

Afficher la correction

On dérive :

\[f'(x)=-3e^{-3x}.\]

Comme

\[e^{-3x}>0,\]

on obtient

\[-3e^{-3x}<0.\]

La dérivée est toujours négative.

Ainsi,

\[\boxed{ f \text{ est strictement décroissante sur }\mathbb{R}. }\]

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⚠️ Erreur fréquente

Beaucoup d'élèves pensent que

\[e^{-x}\]

est négatif.

C'est faux.

Le signe « - » est dans l'exposant.

Or, une exponentielle est toujours strictement positive.

Ainsi,

\[\boxed{ e^{-x}>0 \qquad \text{pour tout réel }x. }\]

En revanche,

\[-e^x\]

est toujours négatif, car le signe « - » est placé devant l'exponentielle.

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📌 À retenir

✅ \(e^x\) est toujours strictement positif.

✅ La dérivée de \(e^x\) est \(e^x\).

✅ Une dérivée positive signifie que la fonction est croissante.

✅ Une dérivée négative signifie que la fonction est décroissante.

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🚀 Fiche réflexe

✔ \((e^x)'=e^x\)

✔ \(e^x>0\)

✔ \(e^x\) est strictement croissante.

✔ \(-e^x\) est strictement décroissante.

✔ Pour connaître les variations, il suffit d'étudier le signe de la dérivée.