Une suite numérique est une fonction qui, à chaque entier naturel \(n\) (à partir d'un certain rang), associe un nombre réel noté \(u_n\) (et non \(u(n)\)).

• \(u_n\) se lit "u indice n" et désigne le terme de rang \(n\).
• La suite elle-même se note \((u_n)\).

Modes de génération d'une suite

Il existe deux façons principales de définir une suite :

Explicite

\(u_n\) est donné directement en fonction de \(n\) :

\[u_n = f(n)\]

Exemple : \(u_n = 3n + 2\). On calcule directement \(u_5 = 3\times5+2 = 17\) sans connaître les termes précédents.

Par récurrence

Le premier terme est donné, et chaque terme se déduit du précédent :

\[u_0 \text{ donné}, \qquad u_{n+1} = f(u_n)\]

Exemple : \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 2u_n + 3\). On calcule \(u_1 = 2(1)+3 = 5\), puis \(u_2 = 2(5)+3=13\), etc. — impossible de calculer \(u_{10}\) sans passer par tous les termes précédents.

Suites arithmétiques

Une suite \((u_n)\) est arithmétique s'il existe un réel \(r\), appelé raison, tel que pour tout \(n\) :

\[u_{n+1} = u_n + r\]

On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même valeur \(r\).

Formule explicite (à partir de \(u_0\)) :

\[u_n = u_0 + n\,r\]

Plus généralement, entre deux rangs \(n\) et \(p\) :

\[u_n = u_p + (n-p)\,r\]

Somme des \(n+1\) premiers termes (\(u_0\) à \(u_n\)) :

\[S = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}\]

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