Cours de maths 1re · Chapitre 7
Probabilités conditionnelles et variables aléatoires
Probabilités conditionnelles, arbres pondérés, indépendance, espérance et loi de Bernoulli.
Deux nouveautés en première. D'abord conditionner : que devient une probabilité quand on sait déjà quelque chose ? Ensuite mesurer : une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue, et l'on peut alors parler de gain moyen.
I) Probabilité conditionnelle
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Pour \(P(A) \neq 0\) : \[P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\] « probabilité de \(B\) sachant \(A\) » |
💡 Conditionner, c'est rétrécir l'univers : on ne regarde plus que la part où \(A\) s'est produit, et on rapporte à elle. D'où la division par \(P(A)\).
⚠️ \(P_A(B)\) n'est pas \(P_B(A)\). « La probabilité qu'il pleuve sachant que le sol est mouillé » n'est pas « la probabilité que le sol soit mouillé sachant qu'il pleut » — la seconde vaut presque 1, la première non.
II) Arbre pondéré et probabilités totales
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Le long d'un chemin : on multiplie \[P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\] |
Entre les chemins : on additionne \[P(B) = P(A)P_A(B) + P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)\] |
⚠️ Les probabilités du deuxième niveau sont conditionnelles, pas des probabilités « toutes seules ». Contrôle simple : les branches partant d'un même nœud doivent sommer à \(1\).
III) Indépendance
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\(A\) et \(B\) sont indépendants si \(\;P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\), ce qui équivaut à \(P_A(B) = P(B)\) : savoir que \(A\) s'est produit ne change rien. |
⚠️ Indépendants n'est pas incompatibles. Deux événements incompatibles sont au contraire très liés : si l'un se produit, l'autre est impossible.
Exemple 1 : un arbre complet
Dans un lycée, 60 % des élèves sont des filles. 30 % des filles et 20 % des garçons font de la musique. On interroge un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il fasse de la musique ? Sachant qu'il fait de la musique, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
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Notons \(F\) « c'est une fille » et \(M\) « il fait de la musique ». L'énoncé donne \(P(F) = 0{,}6\), \(P_F(M) = 0{,}3\) et \(P_{\overline{F}}(M) = 0{,}2\).
Probabilités totales :
\[P(M) = 0{,}6 \times 0{,}3 + 0{,}4 \times 0{,}2 = 0{,}18 + 0{,}08 = 0{,}26\]
Probabilité inverse :
\[P_M(F) = \frac{P(F \cap M)}{P(M)} = \frac{0{,}18}{0{,}26} \approx 0{,}692\]
Environ 69 % des musiciens du lycée sont des filles.
💡 Remarque : \(P_F(M) = 0{,}30\) mais \(P_M(F) \approx 0{,}69\). Les deux nombres n'ont rien à voir — le second est gonflé par le fait qu'il y a plus de filles au départ. C'est exactement le raisonnement qui trompe tout le monde dans les tests médicaux.
IV) Variable aléatoire
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Une variable aléatoire \(X\) associe un nombre à chaque issue. Sa loi est la liste des valeurs prises, avec leurs probabilités. \[E(X) = \sum x_i\,P(X = x_i) \qquad V(X) = \sum \left(x_i - E(X)\right)^2 P(X = x_i) \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}\] |
💡 L'espérance est la moyenne des gains sur un grand nombre de parties. Pour un jeu, \(E(X) > 0\) signifie qu'on gagne à long terme, \(E(X) < 0\) qu'on perd — et \(E(X) = 0\) définit un jeu « équitable ».
⚠️ L'espérance n'est pas une valeur que l'on observera forcément. Un jeu qui rapporte \(+10\) ou \(-10\) à pile ou face a une espérance nulle, alors que \(0\) n'est jamais gagné.
Exemple 2 : un jeu est-il équitable ?
On mise 2 €. On lance un dé équilibré : si l'on obtient 6, on gagne 10 € ; sinon on ne gagne rien. Le jeu est-il favorable au joueur ?
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Soit \(X\) le gain algébrique (ce qu'on récupère moins la mise) :
| \(x_i\) | \(-2\) | \(+8\) |
| \(P(X=x_i)\) | \(\frac{5}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) |
\[E(X) = -2 \times \frac{5}{6} + 8 \times \frac{1}{6} = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{2}{6} \approx -0{,}33\]
L'espérance est négative : sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne 33 centimes par partie. Le jeu est défavorable.
⚠️ Le piège est d'oublier la mise. Le gain quand on fait 6 n'est pas \(10\) mais \(10 - 2 = 8\), et quand on perd il vaut \(-2\), pas \(0\). Toujours raisonner en gain algébrique, mise déduite.
Exemple 3 : loi de Bernoulli
Une épreuve à deux issues, succès de probabilité \(p\) : \(X\) vaut \(1\) en cas de succès, \(0\) sinon. Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
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\[E(X) = 1 \times p + 0 \times (1-p) = p\]
\[V(X) = (1-p)^2 \times p + (0-p)^2 \times (1-p) = p(1-p)\big[(1-p) + p\big] = p(1-p)\]
💡 Ces deux résultats se retiennent : \(E(X) = p\) et \(V(X) = p(1-p)\). Ce sont les briques de la loi binomiale, vue en terminale, qui répète \(n\) fois cette même épreuve.
À toi de jouer
- \(P(A) = 0{,}5\), \(P_A(B) = 0{,}4\). Calculer \(P(A \cap B)\).
- Avec en plus \(P_{\overline{A}}(B) = 0{,}6\), calculer \(P(B)\).
- En déduire \(P_B(A)\).
- \(X\) prend les valeurs \(-1\), \(0\) et \(3\) avec les probabilités \(0{,}5\) ; \(0{,}2\) ; \(0{,}3\). Calculer \(E(X)\).
- Vrai ou faux : « si \(E(X) = 0\), le joueur ne gagne ni ne perd jamais ».
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\[P(A \cap B) = 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2\]
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\[P(B) = 0{,}5 \times 0{,}4 + 0{,}5 \times 0{,}6 = 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5\]
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\[P_B(A) = \frac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4\]
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\[E(X) = -1 \times 0{,}5 + 0 \times 0{,}2 + 3 \times 0{,}3 = -0{,}5 + 0{,}9 = 0{,}4\]
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Faux. L'espérance nulle signifie que les gains et les pertes se compensent en moyenne sur un grand nombre de parties. À chaque partie, le joueur gagne ou perd bel et bien.
Ce qu'il faut retenir
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