Cours de maths 1re · Chapitre 1
Polynômes du second degré
Formes développée, factorisée et canonique, discriminant et racines, variations, signe et parabole : la méthode complète pour étudier un polynôme du second degré.
1. Définition
Un polynôme du second degré est une expression de la forme
\[P(x)=ax^2+bx+c\]
où :
- \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels ;
- \(a\neq0\).
Le coefficient \(a\) est appelé le coefficient du terme en \(x^2\).
Exemples
\[3x^2-5x+2\]
\[-2x^2+7\]
\[x^2-4x+1\]
Contre-exemples
- \(5x+2\) (polynôme du premier degré)
- \(4\) (polynôme constant)
- \(x^3-2x\) (polynôme du troisième degré)
2. La forme développée
La forme développée est
\[P(x)=ax^2+bx+c\]
Exemple :
\[P(x)=2x^2-5x+3\]
On lit directement :
- \(a=2\)
- \(b=-5\)
- \(c=3\)
3. La forme factorisée
Lorsqu'elle existe, on peut écrire
\[P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\]
où \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines du polynôme.
Exemple
\[P(x)=x^2-5x+6\]
se factorise en
\[P(x)=(x-2)(x-3)\]
Les racines sont donc
\[x_1=2 \qquad\text{et}\qquad x_2=3.\]
4. La forme canonique
Tout polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme
\[P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\]
Cette écriture est appelée forme canonique.
Elle permet de lire directement le sommet de la parabole.
Le sommet est le point
\[S(\alpha\,;\,\beta).\]
5. Calcul de \(\alpha\)
On calcule
\[\alpha=\frac{-b}{2a}.\]
Exemple
Soit
\[P(x)=2x^2-8x+1.\]
Alors
\[\alpha=\frac{-(-8)}{2\times2} =\frac{8}{4} =2.\]
6. Calcul de \(\beta\)
On remplace simplement \(x\) par \(\alpha\).
Autrement dit,
\[\beta=P(\alpha).\]
Exemple
Comme
\[\alpha=2,\]
on calcule
\[P(2)=2\times4-8\times2+1 =8-16+1 =-7.\]
La forme canonique est donc
\[P(x)=2(x-2)^2-7.\]
7. Le discriminant
Le discriminant est un nombre qui permet de connaître le nombre de racines du polynôme.
On le note
\[\Delta.\]
Sa formule est
\[\boxed{\Delta=b^2-4ac.}\]
8. Cas où \(\Delta>0\)
Si
\[\Delta>0,\]
le polynôme possède deux racines réelles.
Elles sont données par
\[x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\]
et
\[x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\]
Exemple
Soit
\[P(x)=x^2-5x+6.\]
Calcul du discriminant :
\[\Delta=(-5)^2-4\times1\times6 =25-24 =1.\]
Les racines sont
\[x_1=2
\qquad\text{et}\qquad
x_2=3.\]
Comme on peut le voir sur l'image ci-dessous :
9. Cas où \(\Delta=0\)
Si
\[\Delta=0,\]
le polynôme possède une unique racine, appelée racine double.
La formule est
\[x=\frac{-b}{2a}.\]
Exemple
\[P(x)=x^2-6x+9.\]
Calcul du discriminant :
\[\Delta=36-36=0.\]
La racine est
\[x=3.\]
La factorisation devient
\[P(x)=(x-3)^2.\]
Comme on peut le voir sur l'image ci-dessous :
10. Cas où \(\Delta<0\)
Si
\[\Delta<0,\]
le polynôme ne possède aucune racine réelle.
Exemple
\[P(x)=x^2+4x+5.\]
Calcul du discriminant :
\[\Delta=16-20=-4.\]
Le polynôme ne peut donc pas être factorisé dans \(\mathbb{R}\).
11. Les variations
Le sens de variation dépend du signe de \(a\).
Si \(a>0\)
La parabole est tournée vers le haut.
Le polynôme :
- décroît jusqu'à \(\alpha\) ;
- atteint un minimum en \(\alpha\) ;
- puis croît.
Si \(a<0\)
La parabole est tournée vers le bas.
Le polynôme :
- croît jusqu'à \(\alpha\) ;
- atteint un maximum en \(\alpha\) ;
- puis décroît.
12. Le signe du polynôme
Le signe dépend :
- du coefficient \(a\) ;
- des racines éventuelles.
Cas 1 : \(\Delta>0\)
Si \(a>0\)
| Intervalle | Signe |
|---|---|
| Avant \(x_1\) | + |
| Entre \(x_1\) et \(x_2\) | − |
| Après \(x_2\) | + |
Si \(a<0\)
Tous les signes sont inversés.
Cas 2 : \(\Delta=0\)
Si \(a>0\), le polynôme est toujours positif ou nul.
Il s'annule uniquement sur la racine double.
Si \(a<0\), il est toujours négatif ou nul.
Cas 3 : \(\Delta<0\)
Le polynôme ne change jamais de signe.
- Si \(a>0\), il est toujours positif.
- Si \(a<0\), il est toujours négatif.
13. Représentation graphique
La courbe représentative d'un polynôme du second degré est une parabole.
Ses principaux éléments sont :
- le sommet ;
- l'axe de symétrie
\[x=\alpha;\]
- le sens d'ouverture (donné par le signe de \(a\)) ;
- les éventuelles intersections avec l'axe des abscisses (les racines).
14. Méthode d'étude
Pour étudier un polynôme du second degré :
- Identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\).
- Calculer le discriminant \(\Delta\).
- Déterminer le nombre de racines.
- Calculer les racines si elles existent.
- Écrire la forme factorisée si possible.
- Calculer
\[\alpha=\frac{-b}{2a}\]
- Calculer
\[\beta=P(\alpha).\]
- Écrire la forme canonique.
- Étudier les variations.
- Étudier le signe.
- Tracer la parabole si nécessaire.
À retenir
- Un polynôme du second degré est de la forme
\[ax^2+bx+c \qquad(a\neq0).\]
- Le discriminant est
\[\boxed{\Delta=b^2-4ac.}\]
- Si \(\Delta>0\), il y a deux racines.
- Si \(\Delta=0\), il y a une racine double.
- Si \(\Delta<0\), il n'y a aucune racine réelle.
Le sommet est
\[S(\alpha\,;\,\beta)\]
avec
\[\alpha=\frac{-b}{2a} \qquad\text{et}\qquad \beta=P(\alpha).\]
Le signe de \(a\) détermine le sens d'ouverture de la parabole, tandis que le signe du polynôme dépend à la fois de \(a\) et de ses éventuelles racines.