Cours de maths 5e · Chapitre 7
Aires et volumes
Les aires des figures usuelles, le volume des prismes et cylindres, et les conversions sans se tromper de facteur.
I) Rappel : périmètre, aire, volume
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Périmètre |
Aire |
Volume |
💡 Le nombre de petits « 2 » ou « 3 » dans l'unité indique le nombre de dimensions : une longueur, une surface, un espace.
II) Les aires à connaître
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Carré : \(\;A = c^2\) Rectangle : \(\;A = L \times \ell\) Triangle : \(\;A = \dfrac{b \times h}{2}\) |
Parallélogramme : \(\;A = b \times h\) Disque : \(\;A = \pi r^2\) Trapèze : \(\;A = \dfrac{(B + b) \times h}{2}\) |
⚠️ La hauteur est toujours perpendiculaire à la base, jamais un côté oblique. C'est l'erreur numéro un sur le parallélogramme et le triangle.
Exemple 1 : l'aire d'un triangle
Un triangle a une base de 12 cm et une hauteur de 7 cm. Quelle est son aire ?
✅ Voir la correction
\[A = \frac{12 \times 7}{2} = \frac{84}{2} = 42 \text{ cm}^2\]
💡 Le triangle vaut toujours la moitié du rectangle qui l'entoure — d'où la division par 2.
III) Le volume des prismes et cylindres
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Pour tous les solides « droits » : \[V = \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\] Prisme : \(\;V = \mathcal{B} \times h\) · Cylindre : \(\;V = \pi r^2 \times h\) |
💡 Une seule idée pour tous ces solides : on empile la base sur toute la hauteur. Il suffit donc de savoir calculer l'aire de la base.
Exemple 2 : un cylindre
Une boîte de conserve a un rayon de 4 cm et une hauteur de 11 cm. Quel est son volume, arrondi au dixième ?
✅ Voir la correction
Aire de la base :
\[\pi \times 4^2 = 16\pi \approx 50{,}3 \text{ cm}^2\]
Volume :
\[V = 16\pi \times 11 = 176\pi \approx 552{,}9 \text{ cm}^3\]
💡 Garde \(\pi\) jusqu'au bout et n'arrondis qu'à la fin : arrondir dès la base fausse le résultat final.
IV) Les conversions
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longueurs |
aires |
volumes |
💡 Le raisonnement plutôt que le tableau : dans un carré de 1 m de côté, il y a \(10 \times 10 = 100\) carrés de 1 dm. Dans un cube de 1 m, \(10 \times 10 \times 10 = 1000\) cubes de 1 dm.
Exemple 3 : une figure composée
Une pièce en forme de L est formée d'un rectangle de 6 m × 4 m auquel on ajoute un carré de 2 m de côté. Quelle est son aire ?
✅ Voir la correction
\[A = (6 \times 4) + (2 \times 2) = 24 + 4 = 28 \text{ m}^2\]
💡 Face à une figure sans formule : la découper en figures connues, puis additionner. Parfois il est plus rapide de partir d'un grand rectangle et de soustraire le morceau manquant — les deux méthodes donnent le même résultat, choisis la plus courte.
À toi de jouer
- Aire d'un parallélogramme de base 9 cm et de hauteur 5 cm.
- Aire d'un disque de rayon 6 cm (valeur exacte puis arrondie au dixième).
- Volume d'un prisme dont la base a une aire de 15 cm² et la hauteur 8 cm.
- Convertir 4 m² en cm².
✅ Voir les réponses
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\[A = 9 \times 5 = 45 \text{ cm}^2\]
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\[A = \pi \times 6^2 = 36\pi \approx 113{,}1 \text{ cm}^2\]
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\[V = 15 \times 8 = 120 \text{ cm}^3\]
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\[4 \text{ m}^2 = 4 \times 10\,000 = 40\,000 \text{ cm}^2\]
Ce qu'il faut retenir
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