Cours de maths 5e · Chapitre 5
La symétrie centrale
Le demi-tour autour d'un point : construire un symétrique, ne pas la confondre avec la symétrie axiale, et reconnaître les figures qui ont un centre.
I) L'idée : un demi-tour
La symétrie centrale transforme une figure par un demi-tour autour d'un point appelé centre de symétrie.
💡 Le test du calque : décalque la figure, plante ton crayon sur le centre, et fais tourner le calque d'un demi-tour. Si les deux figures se superposent, c'est une symétrie centrale. Contrairement à la symétrie axiale, on ne retourne pas le calque.
II) Construire le symétrique d'un point
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Le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\) est le point \(A'\) tel que \(O\) soit le milieu du segment \([AA']\). 1. Tracer la demi-droite qui part de \(A\) et passe par \(O\). |
⚠️ Les trois points \(A\), \(O\) et \(A'\) sont toujours alignés. Si ce n'est pas le cas sur ta figure, c'est qu'il y a une erreur.
III) Axiale ou centrale : ne pas confondre
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Symétrie axiale par rapport à une droite c'est un pliage — effet miroir la figure est retournée |
Symétrie centrale par rapport à un point c'est un demi-tour la figure est à l'envers, pas retournée |
💡 Un mot lu dans un miroir devient illisible (symétrie axiale). Le même mot vu la tête en bas reste lisible si on tourne la feuille (symétrie centrale). C'est toute la différence.
IV) Ce que la symétrie centrale conserve
Comme la symétrie axiale, elle conserve tout : longueurs, angles, aires, alignement, parallélisme. Les deux figures sont superposables.
Elle a même une propriété supplémentaire, très utile :
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Le symétrique d'une droite est une droite parallèle à la première. |
V) Les figures qui ont un centre de symétrie
Une figure possède un centre de symétrie si elle se superpose à elle-même après un demi-tour.
- Parallélogramme : oui — le point d'intersection de ses diagonales. (Et il n'a pourtant aucun axe de symétrie.)
- Rectangle, losange, carré : oui, centre = croisement des diagonales.
- Cercle : oui, son centre.
- Triangle : non, jamais.
💡 Le parallélogramme est l'exemple qui montre que centre et axe de symétrie sont deux choses indépendantes : on peut avoir l'un sans l'autre.
Exemple 1 : construire un symétrique
Soit un segment \([AB]\) et un point \(O\) extérieur. Comment construire le symétrique de \([AB]\) par rapport à \(O\) ?
✅ Voir la correction
On construit séparément le symétrique de chaque extrémité :
1. Tracer la demi-droite \([AO)\), reporter la longueur \(OA\) au-delà de \(O\) : on obtient \(A'\).
2. Faire de même avec \(B\) : on obtient \(B'\).
3. Tracer le segment \([A'B']\).
💡 On ne construit jamais une figure entière d'un coup : on transforme ses points caractéristiques (sommets, extrémités), puis on relie. Et \([A'B']\) mesure exactement la même longueur que \([AB]\).
Exemple 2 : reconnaître
Deux triangles identiques sont dessinés, l'un « à l'envers » de l'autre. En posant un calque sur le premier et en le faisant tourner d'un demi-tour, il se superpose au second. De quelle transformation s'agit-il ?
✅ Voir la correction
C'est une symétrie centrale : on a tourné le calque sans le retourner.
💡 S'il avait fallu retourner le calque, c'eût été une symétrie axiale. Ce test simple règle presque toujours la question.
À toi de jouer
- Le symétrique d'un segment de 6 cm par rapport à un point mesure combien ?
- \(A\), \(O\) et \(A'\) sont-ils alignés dans une symétrie centrale ?
- Le parallélogramme a-t-il un centre de symétrie ? Un axe ?
- Le symétrique d'une droite par rapport à un point est-il parallèle à cette droite ?
✅ Voir les réponses
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6 cm : la symétrie centrale conserve les longueurs.
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Oui, toujours, et \(O\) est le milieu de \([AA']\).
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Il a un centre de symétrie (le croisement de ses diagonales), mais aucun axe.
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Oui. C'est une propriété propre à la symétrie centrale.
Ce qu'il faut retenir
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