Cours de maths 5e · Chapitre 6
Les triangles
La somme des angles à 180°, les triangles particuliers, l'inégalité triangulaire et les droites remarquables.
I) La somme des angles
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Dans TOUT triangle, la somme des trois angles vaut 180°. \[\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°\] |
💡 C'est ce qui permet de trouver le troisième angle dès qu'on connaît les deux autres — la question la plus fréquente du chapitre.
Exemple 1 : trouver le troisième angle
Dans un triangle, \(\widehat{A} = 47°\) et \(\widehat{B} = 68°\). Combien mesure \(\widehat{C}\) ?
✅ Voir la correction
\[\widehat{C} = 180° - 47° - 68° = 180° - 115° = 65°\]
💡 Astuce : additionne d'abord les deux angles connus, puis soustrais une seule fois. Moins de calculs, moins d'erreurs.
II) Les triangles particuliers
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Isocèle deux côtés égaux |
Équilatéral trois côtés égaux |
Rectangle un angle de 90° |
💡 Ces propriétés découlent toutes des 180°. Pour l'équilatéral : \(180 \div 3 = 60\). Pour le rectangle : \(180 - 90 = 90\) restants à partager.
Exemple 2 : un triangle isocèle
Un triangle isocèle a un angle principal de 40°. Combien mesurent les deux angles à la base ?
✅ Voir la correction
Les deux angles à la base sont égaux. Il reste :
\[180° - 40° = 140°\]
À partager en deux parts égales :
\[140° \div 2 = 70°\]
Chaque angle à la base mesure 70°.
Vérification : \(40 + 70 + 70 = 180\) ✔
III) L'inégalité triangulaire
Un triangle n'existe pas toujours. Pour qu'il soit constructible :
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Le plus grand côté doit être inférieur à la somme des deux autres. |
💡 L'image : pour fermer le triangle, les deux petits bâtons doivent pouvoir se rejoindre au-dessus du grand. S'ils sont trop courts, ils n'y arrivent pas — et s'ils font exactement la bonne longueur, ils s'aplatissent sur le grand côté : le triangle est « plat », donc inexistant.
Exemple 3 : constructible ou non
Peut-on construire un triangle de côtés 8 cm, 5 cm et 2 cm ?
✅ Voir la correction
Le plus grand côté mesure 8 cm. La somme des deux autres :
\[5 + 2 = 7 \qquad\text{et}\qquad 7 < 8\]
Non, ce triangle n'existe pas.
💡 On compare toujours le plus grand côté à la somme des deux autres — pas deux côtés au hasard.
IV) Les droites remarquables
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Médiatrice d'un côté Hauteur issue d'un sommet |
Médiane issue d'un sommet Bissectrice d'un angle |
⚠️ Ne confonds pas hauteur et médiane : la hauteur est perpendiculaire au côté, la médiane rejoint son milieu. Elles ne se confondent que dans un triangle isocèle ou équilatéral.
À toi de jouer
- Dans un triangle, deux angles mesurent 55° et 72°. Combien mesure le troisième ?
- Un triangle isocèle a deux angles à la base de 50°. Combien mesure le troisième angle ?
- Peut-on construire un triangle de côtés 6 cm, 6 cm et 11 cm ?
- Quelle droite passe par un sommet et par le milieu du côté opposé ?
✅ Voir les réponses
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\[180° - (55° + 72°) = 180° - 127° = 53°\]
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\[180° - (50° + 50°) = 80°\]
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\(6 + 6 = 12\), et \(12 > 11\) : oui, il est constructible (de justesse).
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La médiane.
Ce qu'il faut retenir
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