📖 Définition

Une fraction représente un quotient de deux nombres.

\[\frac{A}{B}\]

• A est le numérateur.
• B est le dénominateur.

💡 À retenir : Le dénominateur doit être différent de 0.

Comparer des fractions

Cas n°1 : Les dénominateurs sont identiques

Lorsque deux fractions ont le même dénominateur, on compare uniquement les numérateurs.

✏️ Exemple 1

• \[\frac{7}{8}\ > \frac{5}{8}\]

• \[\frac{3}{4}\ < \frac{6}{4}\]

💡 Méthode

Lorsque les dénominateurs sont identiques :

1. On regarde uniquement les numérateurs.
2. La fraction ayant le plus grand numérateur est la plus grande.

Cas n°2 : Les dénominateurs sont différents

Lorsque deux fractions n'ont pas le même dénominateur, on ne peut pas les comparer directement.

Il faut d'abord les mettre au même dénominateur, puis comparer les numérateurs.

✏️ Exemple 2

• \[\frac{3}{4}\ < \frac{4}{5}\] \(\frac{3}{4}=\frac{3\times5}{4\times5}=\frac{15}{20}\) \(et\) \(\frac{4}{5}=\frac{4\times4}{5\times4}=\frac{16}{20}\)

• \[\frac{3}{4}\ < \frac{5}{6}\] \(\frac{3}{4}=\frac{3\times3}{4\times3}=\frac{9}{12}\) \(et\) \(\frac{5}{6}=\frac{5\times2}{6\times2}=\frac{10}{12}\)

• \[\frac{3}{12}\ < \frac{3}{4}\] \(\frac{3}{4}=\frac{3\times3}{4\times3}=\frac{9}{12}\)

⚠️ Attention

Deux fractions qui n'ont pas le même dénominateur ne se comparent jamais directement.

Par exemple, on ne peut pas conclure que

\[\frac{3}{4}<\frac{4}{5}\]

uniquement parce que 3 < 4.

Il faut d'abord réduire les deux fractions au même dénominateur.

🎯 À retenir

• ✔️ Même dénominateur → on compare les numérateurs.
• ✔️ Dénominateurs différents → on réduit au même dénominateur.

  2) Additionner des fractions

Cas n°1 : Les dénominateurs sont identiques

Lorsque deux fractions ont le même dénominateur, on additionne les numérateurs et on conserve le même dénominateur.

\[\frac{A}{K}+\frac{B}{K}=\frac{A+B}{K}\]

✏️ Exemple 3

• \[\frac{5}{4}+\frac{1}{4}=\frac{5+1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\]

• \[\frac{7}{3}+\frac{4}{3}=\frac{7+4}{3}=\frac{11}{3}\]

💡 Méthode

1. Vérifier que les deux dénominateurs sont identiques.
2. Additionner les numérateurs.
3. Conserver le dénominateur.
4. Simplifier la fraction si possible.

Cas n°2 : Les dénominateurs sont différents

Lorsque les dénominateurs sont différents, on commence par réduire les fractions au même dénominateur.

\[\frac{A}{B}+\frac{C}{D} = \frac{A\times D}{B\times D} + \frac{C\times B}{D\times B}\]

On obtient alors deux fractions ayant le même dénominateur, que l'on peut additionner.

✏️ Exemple 4

• \[\frac{5}{4}+\frac{1}{3}\] \(=\frac{5\times3}{4\times3}+\frac{1\times4}{3\times4}=\frac{15}{12}+\frac{4}{12}=\frac{15+4}{12}=\frac{19}{12}\)

• \[\frac{7}{3}+\frac{4}{5}=\] \(=\frac{7\times5}{3\times5}+\frac{4\times3}{5\times3}=\frac{35}{15}+\frac{12}{15}=\frac{35+12}{15}=\frac{47}{15}\)

⚠️ Attention

Il est interdit d'additionner directement les dénominateurs.

Par exemple :

❌

\[\frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{2}{5}\]

est faux.

Il faut d'abord mettre les deux fractions au même dénominateur.

🎯 À retenir

• ✔️ Même dénominateur → on additionne les numérateurs.
• ✔️ Dénominateurs différents → on réduit au même dénominateur.
• ✔️ On pense toujours à simplifier le résultat lorsque c'est possible.

  3) Soustraire des fractions

Cas n°1 : Les dénominateurs sont identiques

Lorsque deux fractions ont le même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on conserve le même dénominateur.

\[\frac{A}{K}-\frac{B}{K} = \frac{A-B}{K}\]

✏️ Exemple 5

• \[\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=\frac{5-1}{4}=\frac{4}{4}=1\]

• \[\frac{7}{3}-\frac{4}{3}=\frac{7-4}{3}=\frac{3}{3}=1\]

💡 Méthode

1. Vérifier que les deux dénominateurs sont identiques.
2. Soustraire les numérateurs.
3. Conserver le dénominateur.
4. Simplifier si possible.

Cas n°2 : Les dénominateurs sont différents

Lorsque les dénominateurs sont différents, il faut d'abord réduire les fractions au même dénominateur.

\[\frac{A}{B}-\frac{C}{D} = \frac{A\times D}{B\times D} - \frac{C\times B}{D\times B} = \frac{A\times D-C\times B}{B\times D}\]

✏️ Exemple 6

• \[\frac{5}{4}-\frac{1}{3}\] \(=\frac{5\times3}{4\times3}-\frac{1\times4}{3\times4}=\frac{15}{12}-\frac{4}{12}=\frac{15-4}{12}=\frac{11}{12}\)

• \[\frac{7}{3}-\frac{4}{5}\] \(=\frac{7\times5}{3\times5}-\frac{4\times3}{5\times3}=\frac{35}{15}-\frac{12}{15}=\frac{35-12}{15}=\frac{23}{15}\)

• \[\frac{7}{28}-\frac{1}{4}=\] \(=\frac{7}{28}-\frac{1\times7}{4\times7}=\frac{7}{28}-\frac{7}{28}=0\)

⚠️ Attention

On ne soustrait jamais les dénominateurs.

Par exemple :

❌

\[\frac{5}{8}-\frac{1}{4} = \frac{4}{4}\]

est faux.

Il faut d'abord mettre les deux fractions au même dénominateur.

🎯 À retenir

• ✔️ Même dénominateur → on soustrait les numérateurs.
• ✔️ Dénominateurs différents → on réduit au même dénominateur.
• ✔️ On simplifie toujours le résultat lorsque c'est possible.

  4) Multiplier des fractions

Contrairement à l'addition et à la soustraction, il n'est pas nécessaire de réduire les fractions au même dénominateur.

Pour multiplier deux fractions :

• on multiplie les numérateurs entre eux ;
• on multiplie les dénominateurs entre eux.

On obtient :

\[\frac{A}{B}\times\frac{C}{D} = \frac{A\times C}{B\times D}\]

💡 Méthode

1. Multiplier les numérateurs.
2. Multiplier les dénominateurs.
3. Simplifier la fraction obtenue si possible.

💡 Astuce : On peut parfois simplifier avant de multiplier (simplification en croix).

✏️ Exemple 7

• \[\frac{5}{4}\times\frac{1}{3}\] \(=\frac{5\times1}{4\times3}=\frac{5}{12}\)

• \[\frac{7}{3}\times\frac{4}{5}=\] \(=\frac{7\times4}{3\times5}=\frac{28}{15}\)

⚠️ Attention

Il ne faut pas réduire les fractions au même dénominateur.

🎯 À retenir

• ✔️ On multiplie les numérateurs entre eux.
• ✔️ On multiplie les dénominateurs entre eux.
• ✔️ On simplifie le résultat lorsque c'est possible.

5) Diviser des fractions

Pour diviser par une fraction, on commence par déterminer son inverse.

📖 Définition

L'inverse d'un nombre est le nombre qui, multiplié par lui, donne 1.

Par exemple :

\[5=\frac{5}{1} \qquad\Longrightarrow\qquad \text{son inverse est } \frac{1}{5}\]

\[\frac{2}{3} \qquad\Longrightarrow\qquad \text{son inverse est } \frac{3}{2}\]

💡 Méthode

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

\[\frac{A}{B}\div\frac{C}{D} = \frac{A}{B}\times\frac{D}{C}\]

✏️ Exemple 8

• L'inverse de \(5\) est : \[\frac{1}{5}\]

• L'inverse de \(\frac{2}{3}\) est : \[\frac{3}{2}\]

✏️ Exemple 9

• \[\frac{5}{4}\div\frac{1}{3}=\] \(\frac{5}{4}\times\frac{3}{1}=\frac{5\times3}{4\times1}=\frac{15}{4}\)

• \[\frac{7}{3}\div\frac{14}{5}=\] \(\frac{7}{3}\times\frac{5}{14}=\frac{7\times5}{3\times7\times2}=\frac{5}{6}\)

⚠️ Attention

On ne divise jamais directement les numérateurs et les dénominateurs.

On transforme toujours la division en multiplication par l'inverse.

🎯 À retenir

• ✔️ Inverser la deuxième fraction.
• ✔️ Transformer la division en multiplication.
• ✔️ Multiplier les fractions.
• ✔️ Simplifier le résultat.

  ✏️ Exemple 9

Calculer :

• \[\frac{-8}{5}\div\frac{15}{-4}\] \(=\frac{-8}{5}\times\frac{-4}{15}=\frac{+32}{75}\)

• \[\frac{32}{-4}\div\frac{21}{-3}\] \(=\frac{32}{-4}\times\frac{-3}{21}=\frac{4\times8\times(-3)}{-4\times3\times7}=\frac{8}{7}\)

🎯 À retenir

Pour diviser deux fractions :

1. On conserve la première fraction.
2. On inverse la deuxième fraction.
3. On transforme la division en multiplication.
4. On multiplie les numérateurs.
5. On multiplie les dénominateurs.
6. On simplifie le résultat si possible.

Exercice 1 : exercice 1

📝 Exercices

Exercice 1

Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

• \[\frac{3}{5}+\frac{2}{7}=\]

• \[2-\frac{8}{3}=\]

• \[\frac{63}{-30}\times\frac{-3}{14}=\]

• \[\frac{14}{21}\div\frac{35}{12}=\]

Exercice 2 : exercice 2

Exercice 2

Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

• \[\frac{1}{6}+\frac{4}{9}=\]

• \[\frac{9}{5}-\frac{3}{55}=\]

• \[\frac{-10}{-9}\times\frac{-12}{45}=\]

• \[\frac{7}{6}\div\frac{-49}{-36}=\]