Cours de maths 5e · Chapitre 4
Proportionnalité et pourcentages
Reconnaître une proportionnalité, produit en croix, calculer et appliquer un pourcentage, et le piège des hausses successives.
I) Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.
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C'est proportionnel
\[2{,}40 \div 2 = 1{,}20 \quad 6 \div 5 = 1{,}20 \quad 9{,}60 \div 8 = 1{,}20\] Le coefficient est 1,20 (le prix d'un croissant). |
Ce ne l'est pas
\[110 \div 5 = 22 \quad 140 \div 10 = 14\] Les quotients diffèrent : on ne grandit pas proportionnellement à son âge. |
💡 Le test est toujours le même : je divise chaque valeur de la seconde ligne par celle du dessus. Si j'obtiens toujours le même nombre, c'est proportionnel.
II) Compléter un tableau de proportionnalité
Trois méthodes, toutes valables — choisis la plus rapide selon les nombres.
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1. Le coefficient — on le calcule une fois, puis on multiplie tout. |
Exemple 1 : le produit en croix
4 cahiers coûtent 7 €. Combien coûtent 10 cahiers ?
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On écrit l'égalité des rapports, puis on croise :
\[\frac{7}{4} = \frac{x}{10} \;\Longrightarrow\; x = \frac{7 \times 10}{4} = \frac{70}{4} = 17{,}50\]
10 cahiers coûtent 17,50 €.
💡 Vérifie la vraisemblance : 10 cahiers, c'est plus du double de 4, donc le prix doit dépasser 14 €. ✔
III) Calculer un pourcentage
Un pourcentage est une proportion écrite sur 100. Prendre \(t\,\%\) d'un nombre, c'est le multiplier par \(\dfrac{t}{100}\).
\[t\,\% \text{ de } N = \frac{t}{100} \times N\]
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25 % de 80 \[\frac{25}{100} \times 80 = 20\] |
15 % de 240 \[\frac{15}{100} \times 240 = 36\] |
IV) Augmenter ou diminuer d'un pourcentage
C'est ici qu'on gagne beaucoup de temps avec une seule multiplication.
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Augmenter de \(t\,\%\) \[\times \left(1 + \frac{t}{100}\right)\] +20 % → \(\times 1{,}20\) |
Diminuer de \(t\,\%\) \[\times \left(1 - \frac{t}{100}\right)\] −30 % → \(\times 0{,}70\) |
💡 Ce nombre s'appelle le coefficient multiplicateur. Il évite de calculer la remise puis de la soustraire : une seule opération au lieu de deux, donc deux fois moins d'erreurs.
Exemple 2 : une remise
Un article coûte 60 €. Il est soldé à −35 %. Quel est son nouveau prix ?
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Méthode directe :
\[60 \times (1 - 0{,}35) = 60 \times 0{,}65 = 39 \text{ €}\]
Méthode en deux temps (même résultat) : la remise vaut \(\frac{35}{100} \times 60 = 21\) €, donc le prix devient \(60 - 21 = 39\) €.
Exemple 3 : le piège des pourcentages successifs
Un prix augmente de 10 %, puis baisse de 10 %. Revient-il à sa valeur de départ ?
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Non, et c'est contraire à l'intuition. Partons de 100 € :
\[100 \times 1{,}10 = 110 \qquad\text{puis}\qquad 110 \times 0{,}90 = 99\]
Le prix final est 99 €, soit 1 % de moins qu'au départ.
💡 La raison : la hausse de 10 % porte sur 100 €, la baisse de 10 % porte sur 110 €. Les pourcentages ne s'additionnent pas — les coefficients, eux, se multiplient : \(1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99\).
V) Retrouver un pourcentage
Question inverse : quel pourcentage représente une part par rapport à un total ?
\[\text{pourcentage} = \frac{\text{part}}{\text{total}} \times 100\]
Exemple 4 : quelle proportion ?
Dans une classe de 25 élèves, 15 sont demi-pensionnaires. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
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\[\frac{15}{25} \times 100 = 0{,}6 \times 100 = 60\,\%\]
60 % des élèves sont demi-pensionnaires.
À toi de jouer
- 3 kg de pommes coûtent 5,40 €. Combien coûtent 7 kg ?
- Calculer 18 % de 350.
- Un vélo à 240 € augmente de 15 %. Quel est son nouveau prix ?
- Un manteau soldé passe de 80 € à 56 €. Quel est le pourcentage de remise ?
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\[\frac{5{,}40}{3} = 1{,}80 \text{ €/kg} \;\Longrightarrow\; 7 \times 1{,}80 = 12{,}60 \text{ €}\]
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\[\frac{18}{100} \times 350 = 63\]
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\[240 \times 1{,}15 = 276 \text{ €}\]
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La remise vaut \(80 - 56 = 24\) €. Rapportée au prix de départ :
\[\frac{24}{80} \times 100 = 30\,\%\]
Ce qu'il faut retenir
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