Cours de maths 5e · Chapitre 3
Équations
Ce qu'est une équation, comment la résoudre par addition, soustraction, multiplication ou division, et l'équation produit nul.
1) Qu’est ce qu’une équation ?
Une équation est une opération à trou dans laquelle le nombre manquant est remplacé par une lettre. L’objectif est de trouver ce nombre.
Exemple 1 :
Dans l’équation
\[3+x=21\]
la lettre "x" désigne l’inconnue. C’est le nombre manquant que l’on doit rechercher.
Pour trouver l’inconnue, il existe des techniques différentes que nous allons voir maintenant.
2) L’addition et la soustraction
Exemple 2 :
- \[x+3=21\]
On soustrait \(3\) dans les deux membres.
\[x+3-3=21-3\]
\[x=18\]
- \[5,2+x=10\]
On soustrait \(5,2\) dans les deux membres.
\[5,2+x-5,2=10-5,2\]
\[x=4,8\]
Exemple 3 :
1. \[x-16=10\]
On ajoute \(16\) dans les deux membres.
\[x-16+16=10+16\]
\[x=26\]
2.
\[74-x=-64\]
On soustrait \(74\) dans les deux membres.
\[74-x-74=-64-74\]
\[-x=-138\]
On multiplie les deux membres par \(-1\).
\[x=138\]
3) La multiplication et la division
Exemple 4 :
1. \[3x=12\]
On divise les deux membres par \(3\).
\[\frac{3x}{3}=\frac{12}{3}\]
\[x=4\]
2.
\[-5x=13\]
On divise les deux membres par \(-5\).
\[\frac{-5x}{-5}=\frac{13}{-5}\]
\[x=-\frac{13}{5}=-2,6\]
Exemple 5 :
1. \[\frac{x}{12}=2\]
On multiplie les deux membres par \(12\).
\[\frac{x}{12}\times12=2\times12\]
\[x=24\]
2.
\[\frac{12}{x}=6\]
On multiplie les deux membres par \(x\).
\[\frac{12}{x}\times x=6x\]
\[12=6x\]
On divise ensuite les deux membres par \(6\).
\[\frac{12}{6}=\frac{6x}{6}\]
\[2=x\]
ou
\[x=2\]
Pensez à l'enchaînement suivant :
\(3\times4=12\)
\(3=\frac{12}{4}\)
\(4=\frac{12}{3}\)
4) Équation produit nul
Lorsqu’une multiplication a pour résultat \(0\), c’est forcément que l’un des deux membres vaut \(0\).
Ainsi, on a :
\[A\times B=0 \qquad \text{signifie que} \qquad A=0 \ \text{ou}\ B=0\]
Exemple 6 :
a)
\[(x+5)(x+12)=0\]
b)
\[(x-7)(2x+3)=0\]
c)
\[(7x-4)(3x-15)=0\]
Correction
a)
\[(x+5)(x+12)=0\]
Donc
\[x+5=0 \qquad \text{ou} \qquad x+12=0\]
D'où
\[x=-5 \qquad \text{ou} \qquad x=-12\]
b)
\[(x-7)(2x+3)=0\]
Donc
\[x-7=0 \qquad \text{ou} \qquad 2x+3=0\]
Premier cas :
\[x=7\]
Deuxième cas :
\[2x=-3\]
\[x=-\frac{3}{2}\]
Solutions :
\[x=7 \qquad \text{ou} \qquad x=-\frac{3}{2}\]
c)
\[(7x-4)(3x-15)=0\]
Donc
\[7x-4=0 \qquad \text{ou} \qquad 3x-15=0\]
Premier cas :
\[7x=4\]
\[x=\frac{4}{7}\]
Deuxième cas :
\[3x=15\]
\[x=5\]
Solutions :
\[x=\frac{4}{7} \qquad \text{ou} \qquad x=5\]
Exercice 1 :
a)
\[6x-5=13\]
b)
\[2x+4=8\]
c)
\[4x+3=19\]
✅ Voir la correction
Correction
a)
\[6x-5=13\]
On ajoute \(5\) dans les deux membres.
\[6x-5+5=13+5\]
\[6x=18\]
On divise les deux membres par \(6\).
\[\frac{6x}{6}=\frac{18}{6}\]
\[x=3\]
b)
\[2x+4=8\]
On soustrait \(4\) dans les deux membres.
\[2x+4-4=8-4\]
\[2x=4\]
On divise les deux membres par \(2\).
\[\frac{2x}{2}=\frac{4}{2}\]
\[x=2\]
c)
\[4x+3=19\]
On soustrait \(3\) dans les deux membres.
\[4x+3-3=19-3\]
\[4x=16\]
On divise les deux membres par \(4\).
\[\frac{4x}{4}=\frac{16}{4}\]
\[x=4\]
Exercice 2 :
a)
\[5x-7=2x-1\]
b)
\[5x-6=-x+3\]
c)
\[5(x+4)=7x+6\]
d)
\[4(2-x)=3(x+2)\]
✅ Voir la correction
Correction
a)
\[5x-7=2x-1\]
On regroupe les inconnues dans le premier membre et les nombres dans le second.
\[5x-2x=-1+7\]
\[3x=6\]
On divise les deux membres par \(3\).
\[\frac{3x}{3}=\frac{6}{3}\]
\[x=2\]
b)
\[5x-6=-x+3\]
On ajoute \(x\) dans les deux membres.
\[5x+x-6=3\]
\[6x-6=3\]
On ajoute \(6\) dans les deux membres.
\[6x=9\]
On divise les deux membres par \(6\).
\[\frac{6x}{6}=\frac{9}{6}\]
\[x=\frac{3}{2}\]
c)
\[5(x+4)=7x+6\]
On développe.
\[5x+20=7x+6\]
On regroupe les inconnues dans le premier membre et les nombres dans le second.
\[5x-7x=6-20\]
\[-2x=-14\]
On divise les deux membres par \(-2\).
\[\frac{-2x}{-2}=\frac{-14}{-2}\]
\[x=7\]
d)
\[4(2-x)=3(x+2)\]
On développe.
\[8-4x=3x+6\]
On regroupe les inconnues dans le premier membre et les nombres dans le second.
\[-4x-3x=6-8\]
\[-7x=-2\]
On divise les deux membres par \(-7\).
\[\frac{-7x}{-7}=\frac{-2}{-7}\]
\[x=\frac{2}{7}\]
Exercice 3 :
\[(-8x+9)(9x+2)=0\]
\[(-2x-6)(4x+5)=0\]
\[(3x-2)(-6x+1)=0\]
\[(-8x-5)(7x+2)=0\]
✅ Voir la correction
Correction
1)
\[(-8x+9)(9x+2)=0\]
Donc
\[-8x+9=0 \qquad \text{ou} \qquad 9x+2=0\]
Premier cas :
\[-8x=-9\]
\[x=\frac{9}{8}\]
Deuxième cas :
\[9x=-2\]
\[x=-\frac{2}{9}\]
Solutions :
\[x=\frac{9}{8} \qquad \text{ou} \qquad x=-\frac{2}{9}\]
2)
\[(-2x-6)(4x+5)=0\]
Donc
\[-2x-6=0 \qquad \text{ou} \qquad 4x+5=0\]
Premier cas :
\[-2x=6\]
\[x=-3\]
Deuxième cas :
\[4x=-5\]
\[x=-\frac{5}{4}\]
Solutions :
\[x=-3 \qquad \text{ou} \qquad x=-\frac{5}{4}\]
3)
\[(3x-2)(-6x+1)=0\]
Donc
\[3x-2=0 \qquad \text{ou} \qquad -6x+1=0\]
Premier cas :
\[3x=2\]
\[x=\frac{2}{3}\]
Deuxième cas :
\[-6x=-1\]
\[x=\frac{1}{6}\]
Solutions :
\[x=\frac{2}{3} \qquad \text{ou} \qquad x=\frac{1}{6}\]
4)
\[(-8x-5)(7x+2)=0\]
Donc
\[-8x-5=0 \qquad \text{ou} \qquad 7x+2=0\]
Premier cas :
\[-8x=5\]
\[x=-\frac{5}{8}\]
Deuxième cas :
\[7x=-2\]
\[x=-\frac{2}{7}\]
Solutions :
\[x=-\frac{5}{8} \qquad \text{ou} \qquad x=-\frac{2}{7}\]