Cours de maths 6e · Chapitre 2
Périmètres et aires
Ne plus confondre périmètre et aire, connaître les formules, découper les figures composées et convertir les unités.
I) Ne pas confondre les deux
C'est la confusion la plus fréquente de tout le collège, alors autant la régler tout de suite.
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Le périmètre C'est la longueur du contour. Il se mesure en cm, m, km… La clôture autour d'un champ. |
L'aire C'est la surface occupée. Elle se mesure en cm², m², km²… La pelouse à tondre dans le champ. |
💡 Le petit « 2 » de cm² n'est pas décoratif : il signale qu'on parle d'une surface. Une aire sans unité carrée est une réponse fausse.
II) Les formules à connaître
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Périmètres Carré de côté \(c\) : \(\;P = 4 \times c\) Rectangle : \(\;P = 2 \times (L + \ell)\) Cercle de rayon \(r\) : \(\;P = 2 \times \pi \times r\) |
Aires Carré : \(\;A = c \times c = c^2\) Rectangle : \(\;A = L \times \ell\) Triangle : \(\;A = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\) Disque : \(\;A = \pi \times r^2\) |
⚠️ Pour le cercle, ne mélange pas les deux : le périmètre utilise le rayon une fois (\(2\pi r\)), l'aire le rayon au carré (\(\pi r^2\)). Si tu hésites, souviens-toi que l'aire est une surface, donc quelque chose « au carré ».
Exemple 1 : rectangle
Un jardin rectangulaire mesure 12 m de long et 7 m de large. Calculer son périmètre et son aire.
✅ Voir la correction
\[P = 2 \times (12 + 7) = 2 \times 19 = 38 \text{ m}\]
\[A = 12 \times 7 = 84 \text{ m}^2\]
Il faut 38 m de clôture, et il y a 84 m² de terrain.
💡 Deux résultats, deux unités différentes. Écrire « 84 m » serait faux.
Exemple 2 : le triangle et sa hauteur
Un triangle a une base de 9 cm et une hauteur de 6 cm. Calculer son aire.
✅ Voir la correction
\[A = \frac{9 \times 6}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ cm}^2\]
⚠️ La hauteur est la distance perpendiculaire entre la base et le sommet opposé — ce n'est pas la longueur d'un côté. C'est l'erreur numéro un sur les triangles.
Exemple 3 : disque
Un rond-point a un rayon de 15 m. Calculer sa circonférence et son aire, arrondies à l'unité.
✅ Voir la correction
\[P = 2 \times \pi \times 15 = 30\pi \approx 94 \text{ m}\]
\[A = \pi \times 15^2 = 225\pi \approx 707 \text{ m}^2\]
💡 Garde \(\pi\) dans les calculs le plus longtemps possible et n'arrondis qu'à la fin : arrondir dès le début fait dériver le résultat.
III) Les figures composées
Beaucoup d'exercices présentent une figure qui n'a pas de formule. La méthode est toujours la même : découper en figures connues, puis additionner — ou soustraire.
Exemple 4 : une figure à découper
Une pièce est formée d'un rectangle de 8 m sur 5 m, auquel on a retiré un carré de 2 m de côté dans un coin. Quelle est son aire ?
✅ Voir la correction
Ici on soustrait plutôt que d'additionner :
\[A_{\text{rectangle}} = 8 \times 5 = 40 \text{ m}^2 \qquad A_{\text{carré}} = 2 \times 2 = 4 \text{ m}^2\]
\[A = 40 - 4 = 36 \text{ m}^2\]
💡 Attention : le périmètre, lui, ne diminue pas quand on retire ce carré — il reste le même, car les deux côtés retirés sont remplacés par deux côtés de même longueur. Aire et périmètre ne varient pas ensemble.
IV) Les conversions
Pour les longueurs, chaque changement d'unité multiplie ou divise par 10. Pour les aires, c'est par 100, puisqu'on a deux dimensions.
\[1 \text{ m} = 100 \text{ cm} \qquad\text{mais}\qquad 1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2\]
💡 Pourquoi ? Un carré de 1 m de côté mesure 100 cm sur 100 cm, soit \(100 \times 100 = 10\,000\) cm². Retenir le raisonnement évite d'apprendre le tableau par cœur.
À toi de jouer
- Un carré a 7 cm de côté. Calculer son périmètre et son aire.
- Un rectangle a une aire de 48 cm² et une longueur de 8 cm. Quelle est sa largeur ?
- Un cercle a un rayon de 4 cm. Calculer son aire, arrondie au dixième.
- Convertir 3 m² en cm².
✅ Voir les réponses
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\[P = 4 \times 7 = 28 \text{ cm} \qquad A = 7 \times 7 = 49 \text{ cm}^2\]
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\[A = L \times \ell \;\Longrightarrow\; 48 = 8 \times \ell \;\Longrightarrow\; \ell = \frac{48}{8} = 6 \text{ cm}\]
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\[A = \pi \times 4^2 = 16\pi \approx 50{,}3 \text{ cm}^2\]
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\[3 \text{ m}^2 = 3 \times 10\,000 = 30\,000 \text{ cm}^2\]
Ce qu'il faut retenir
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