Cours de maths 2nde · Chapitre 3
Équations et inéquations
Règles de manipulation, équation produit, tableaux de signes, équations et inéquations quotients.
En seconde, on ne se contente plus de « trouver \(x\) » : on apprend à raisonner sur des équivalences, à manipuler des quotients, et surtout à lire un tableau de signes. C'est l'outil qui servira jusqu'en terminale.
I) Les règles du jeu
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Équation On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul. |
Inéquation Même chose, MAIS : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens. \[-2x < 6 \iff x > -3\] |
⚠️ C'est l'erreur numéro un du chapitre, et elle se glisse partout ensuite. Avant de diviser une inéquation, demande-toi toujours : « ce nombre est-il positif ? »
II) Équation produit
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\[A \times B = 0 \iff A = 0 \;\text{ ou }\; B = 0\] |
💡 D'où la stratégie générale : tout ramener d'un côté, puis factoriser. Une équation qui résiste devient simple dès qu'elle est écrite sous forme de produit nul.
Exemple 1 : factoriser pour résoudre
Résoudre \((2x - 6)(x + 1) = 0\), puis \(x^2 = 9x\).
✅ Voir la correction
Première équation — elle est déjà factorisée :
\[2x - 6 = 0 \;\text{ ou }\; x + 1 = 0 \iff x = 3 \;\text{ ou }\; x = -1\]
Seconde — on ramène tout à gauche sans jamais diviser par \(x\) :
\[x^2 - 9x = 0 \iff x(x - 9) = 0 \iff x = 0 \;\text{ ou }\; x = 9\]
⚠️ Diviser les deux membres par \(x\) donnerait « \(x = 9\) » et ferait perdre la solution \(x = 0\). On ne divise jamais par une expression qui peut être nulle : on factorise.
III) Le tableau de signes
Pour résoudre une inéquation qui n'est pas du premier degré, on étudie le signe de chaque facteur, puis on combine.
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Une expression du premier degré \(ax + b\) s'annule en \(x = -\dfrac{b}{a}\) et est |
💡 La dernière ligne se remplit avec la règle des signes : moins par moins donne plus. On lit ensuite la réponse directement — ici le produit est positif sur \(]-\infty\,;-1]\) et sur \([3\,;+\infty[\).
Exemple 2 : une inéquation produit
Résoudre \((x + 1)(x - 3) \leqslant 0\).
✅ Voir la correction
Chaque facteur s'annule : \(x + 1 = 0\) pour \(x = -1\), et \(x - 3 = 0\) pour \(x = 3\).
D'après le tableau ci-dessus, le produit est négatif entre les deux racines. L'inégalité étant large, on inclut les bornes :
\[S = [-1\,;3]\]
💡 Repère utile pour un produit de deux facteurs du premier degré : le signe est celui du produit des coefficients de \(x\) à l'extérieur des racines, et l'opposé entre les deux. Ici les deux coefficients valent \(1\), donc « + − + ».
IV) Équations et inéquations quotients
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\[\frac{A}{B} = 0 \iff A = 0 \;\text{ ET }\; B \neq 0\] La valeur interdite (\(B = 0\)) s'écrit AVANT de résoudre. |
⚠️ Pour une inéquation quotient, on ne « fait pas passer » le dénominateur de l'autre côté : son signe est inconnu. On étudie le signe du quotient dans un tableau, exactement comme pour un produit — avec une double barre à la valeur interdite.
Exemple 3 : une inéquation quotient
Résoudre \(\dfrac{2x - 4}{x + 1} \geqslant 0\).
✅ Voir la correction
Valeur interdite : \(x + 1 = 0\), soit \(x = -1\). On travaille sur \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\).
Racines : le numérateur s'annule en \(x = 2\), le dénominateur en \(x = -1\).
Le tableau de signes donne : le quotient est positif avant \(-1\), négatif entre \(-1\) et \(2\), positif après \(2\).
\[S = \;]-\infty\,;-1[\;\cup\;[2\,;+\infty[\]
⚠️ Deux détails qui coûtent des points : le crochet est ouvert en \(-1\) (valeur interdite, le quotient n'existe pas) et fermé en \(2\) (le quotient y vaut \(0\), ce qui satisfait « \(\geqslant 0\) »). Ouvert ou fermé, ce n'est pas un détail de présentation.
À toi de jouer
- Résoudre \(-3x + 5 \geqslant 11\).
- Résoudre \((x - 2)(2x + 6) = 0\).
- Résoudre \(x^2 = 4x\).
- Résoudre \((x - 1)(x + 4) > 0\).
- Résoudre \(\dfrac{x + 3}{x - 2} = 0\).
✅ Voir les réponses
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\[-3x \geqslant 6 \iff x \leqslant -2 \qquad S = \;]-\infty\,;-2]\]
Le sens s'inverse à la division par \(-3\).
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\[x = 2 \;\text{ ou }\; x = -3\]
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\[x^2 - 4x = 0 \iff x(x-4) = 0 \iff x = 0 \;\text{ ou }\; x = 4\]
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Racines \(1\) et \(-4\) ; le produit est positif à l'extérieur :
\[S = \;]-\infty\,;-4[\;\cup\;]1\,;+\infty[\]
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Valeur interdite \(x = 2\). Le numérateur s'annule en \(x = -3\), qui est autorisé :
\[S = \{-3\}\]
Ce qu'il faut retenir
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