Cours de maths 2nde · Chapitre 8
Statistiques
Moyenne et médiane, quartiles, écart interquartile, variance et écart-type : mesurer la dispersion.
Le collège apprend à calculer une moyenne. La seconde pose la vraie question : deux séries de même moyenne peuvent-elles être très différentes ? Oui — et c'est tout l'objet de ce chapitre, qui introduit la dispersion.
I) Les indicateurs de position
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Moyenne \[\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots}{N}\] Sensible aux valeurs extrêmes. |
Médiane La valeur qui coupe l'effectif en deux : au moins la moitié en dessous, au moins la moitié au-dessus. Insensible aux extrêmes. |
💡 Le salaire moyen d'une entreprise où le patron gagne 200 000 € ne décrit personne. La médiane, elle, résiste : c'est pour cela que l'INSEE publie le salaire médian. Savoir choisir l'indicateur fait partie du chapitre.
II) Quartiles et écart interquartile
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Le premier quartile \(Q_1\) est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales. Le troisième quartile \(Q_3\) : au moins 75 %. Écart interquartile : \(\;Q_3 - Q_1\) — l'étendue de la « moitié du milieu ». |
💡 Ce dessin s'appelle un diagramme en boîte (ou « boîte à moustaches »). La boîte contient la moitié centrale des données : plus elle est large, plus la série est dispersée. Deux boîtes côte à côte comparent deux séries d'un coup d'œil.
III) Écart-type
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La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; l'écart-type \(\sigma\) en est la racine carrée. \[\sigma = \sqrt{V} \qquad \text{avec} \qquad V = \frac{n_1(x_1 - \bar{x})^2 + n_2(x_2 - \bar{x})^2 + \dots}{N}\] |
💡 Pourquoi la racine ? Pour revenir à l'unité des données. Si les valeurs sont des euros, la variance est en « euros au carré » — ce qui ne veut rien dire ; l'écart-type, lui, est en euros. On le lit comme « l'écart typique à la moyenne ».
⚠️ Écart-type et écart interquartile ne vont pas ensemble. On associe moyenne + écart-type, ou médiane + écart interquartile. Mélanger les deux couples n'a pas de sens : le premier est sensible aux extrêmes, le second non.
Exemple 1 : deux séries, même moyenne
Série A : \(9\;;\;10\;;\;10\;;\;11\). Série B : \(2\;;\;8\;;\;12\;;\;18\). Comparer ces deux séries.
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Moyennes :
\[\bar{x}_A = \frac{9+10+10+11}{4} = 10 \qquad \bar{x}_B = \frac{2+8+12+18}{4} = 10\]
Les deux séries ont la même moyenne. Pourtant elles ne se ressemblent pas du tout.
Écarts-types :
\[V_A = \frac{1 + 0 + 0 + 1}{4} = 0{,}5 \;\Rightarrow\; \sigma_A \approx 0{,}71\]
\[V_B = \frac{64 + 4 + 4 + 64}{4} = 34 \;\Rightarrow\; \sigma_B \approx 5{,}83\]
La série B est huit fois plus dispersée que la série A.
💡 C'est la leçon du chapitre : une moyenne seule ne décrit pas une série. Deux classes à 10 de moyenne peuvent être l'une homogène, l'autre coupée en deux. L'écart-type est ce qui les distingue.
Exemple 2 : lire des quartiles
Voici les notes d'une classe de 12 élèves, déjà rangées :
\(4\;;\;6\;;\;8\;;\;9\;;\;10\;;\;10\;;\;11\;;\;12\;;\;12\;;\;14\;;\;15\;;\;18\)
Déterminer la médiane, \(Q_1\) et \(Q_3\).
✅ Voir la correction
Médiane — l'effectif est pair (\(N = 12\)), on prend la moyenne des 6ᵉ et 7ᵉ valeurs :
\[\text{Me} = \frac{10 + 11}{2} = 10{,}5\]
\(Q_1\) — on calcule \(\dfrac{N}{4} = 3\) : c'est un entier, donc \(Q_1\) est la 3ᵉ valeur, soit \(Q_1 = 8\).
\(Q_3\) — on calcule \(\dfrac{3N}{4} = 9\) : entier également, donc \(Q_3\) est la 9ᵉ valeur, soit \(Q_3 = 12\).
L'écart interquartile vaut \(12 - 8 = 4\) : la moitié centrale de la classe se tient entre 8 et 12.
⚠️ Attention à la règle : quand \(\frac{N}{4}\) n'est pas entier, on prend la valeur au rang immédiatement supérieur — jamais un arrondi ni une moyenne. Pour \(N = 10\), \(\frac{N}{4} = 2{,}5\), donc \(Q_1\) est la 3ᵉ valeur.
À toi de jouer
- Calculer la moyenne de \(3\;;\;7\;;\;7\;;\;11\).
- Calculer l'écart-type de cette même série.
- Série de 8 valeurs rangées : \(2\;;\;3\;;\;5\;;\;5\;;\;6\;;\;8\;;\;9\;;\;12\). Donner la médiane, \(Q_1\) et \(Q_3\).
- Une entreprise a un salaire moyen de 3 200 € et un salaire médian de 2 100 €. Qu'en déduis-tu ?
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\[\bar{x} = \frac{3 + 7 + 7 + 11}{4} = 7\]
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\[V = \frac{16 + 0 + 0 + 16}{4} = 8 \qquad \sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83\]
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Médiane : moyenne des 4ᵉ et 5ᵉ valeurs, soit \(\dfrac{5+6}{2} = 5{,}5\).
\(\dfrac{N}{4} = 2\), entier → \(Q_1\) = 2ᵉ valeur = \(3\). \(\dfrac{3N}{4} = 6\), entier → \(Q_3\) = 6ᵉ valeur = \(8\).
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La moyenne est très supérieure à la médiane : quelques salaires très élevés tirent la moyenne vers le haut. Plus de la moitié des salariés gagnent moins de 2 100 € — c'est la médiane qui décrit le mieux cette entreprise.
Ce qu'il faut retenir
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