Cours de maths 2nde · Chapitre 6
Géométrie repérée
Coordonnées, milieu, distance, et comment démontrer la nature d'une figure dans un repère.
I) Se repérer dans le plan
Un repère orthonormé \((O\,;I,J)\) permet de désigner chaque point par un couple de nombres : ses coordonnées \((x\,;y)\).
💡 L'ordre ne s'invente pas : l'abscisse d'abord (horizontale), l'ordonnée ensuite (verticale). Moyen mnémotechnique : dans l'alphabet, a vient avant o, comme abscisse avant ordonnée.
II) Les trois formules du chapitre
Pour deux points \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) :
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Milieu de \([AB]\) \[M\left(\frac{x_A + x_B}{2} \;;\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)\] on fait la moyenne |
Distance \(AB\) \[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] c'est Pythagore |
💡 La formule de distance n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les deux points et le coin. Si tu l'oublies en contrôle, redessine ce triangle : tu la retrouveras.
Exemple 1 : milieu et distance
Soit \(A(-1\,;2)\) et \(B(5\,;-6)\). Calculer les coordonnées du milieu \(M\) de \([AB]\), puis la distance \(AB\).
✅ Voir la correction
Milieu :
\[x_M = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \qquad y_M = \frac{2 + (-6)}{2} = -2 \qquad\text{donc}\qquad M(2\,;-2)\]
Distance :
\[AB = \sqrt{(5-(-1))^2 + (-6-2)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]
💡 Les parenthèses autour des nombres négatifs ne sont pas décoratives : \(5 - (-1) = 6\), pas \(4\). C'est là que se perdent la plupart des points.
III) Reconnaître une figure
Beaucoup d'exercices demandent de démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, un losange, un rectangle… La stratégie est toujours la même : calculer des longueurs et des milieux, puis conclure.
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Parallélogramme : les diagonales ont le même milieu. |
Exemple 2 : démontrer un parallélogramme
Soit \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;3)\), \(C(5\,;6)\) et \(D(2\,;5)\). Montrer que \(ABCD\) est un parallélogramme.
✅ Voir la correction
On calcule le milieu de chaque diagonale.
Milieu de \([AC]\) :
\[\left(\frac{1+5}{2}\;;\;\frac{2+6}{2}\right) = (3\,;4)\]
Milieu de \([BD]\) :
\[\left(\frac{4+2}{2}\;;\;\frac{3+5}{2}\right) = (3\,;4)\]
Les diagonales ont le même milieu, donc \(ABCD\) est un parallélogramme.
⚠️ Attention à l'ordre des sommets : ce sont bien \([AC]\) et \([BD]\) les diagonales de \(ABCD\), pas \([AB]\) et \([CD]\) qui sont des côtés.
Exemple 3 : un triangle rectangle
Soit \(A(0\,;1)\), \(B(4\,;3)\) et \(C(2\,;-3)\). Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ?
✅ Voir la correction
On calcule les carrés des trois longueurs — inutile d'extraire les racines.
\[AB^2 = 4^2 + 2^2 = 20 \qquad AC^2 = 2^2 + (-4)^2 = 20 \qquad BC^2 = (-2)^2 + (-6)^2 = 40\]
On teste la réciproque de Pythagore avec le plus grand :
\[AB^2 + AC^2 = 20 + 20 = 40 = BC^2\]
L'égalité est vérifiée : le triangle est rectangle en \(A\).
💡 Travailler avec les carrés évite les racines et les arrondis. Et le sommet de l'angle droit est celui qui n'apparaît pas dans le plus grand côté.
À toi de jouer
On donne \(A(2\,;-1)\) et \(B(-4\,;7)\).
- Calculer les coordonnées du milieu de \([AB]\).
- Calculer la distance \(AB\).
- Le point \(C(-1\,;3)\) appartient-il au segment \([AB]\) ?
✅ Voir les réponses
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\[\left(\frac{2+(-4)}{2}\;;\;\frac{-1+7}{2}\right) = (-1\,;3)\]
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\[AB = \sqrt{(-4-2)^2 + (7-(-1))^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\]
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Oui : \(C(-1\,;3)\) est exactement le milieu de \([AB]\), calculé à la question 1.
Ce qu'il faut retenir
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