Cours de maths 2nde · Chapitre 5
Les fonctions de référence
Fonctions carré, inverse et racine carrée : variations, courbes, parité et comparaison d'images.
Quatre fonctions reviennent sans cesse : \(x\), \(x^2\), \(\dfrac{1}{x}\) et \(\sqrt{x}\). Les connaître par cœur — allure, variations, signe — permet de répondre à une foule de questions sans calcul.
I) La fonction carré
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\[f(x) = x^2 \qquad \mathcal{D}_f = \mathbb{R}\] Décroissante sur \(]-\infty\,;0]\), croissante sur \([0\,;+\infty[\) |
Courbe : une parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. \(f\) est paire : \((-x)^2 = x^2\) |
⚠️ \(x^2 = 9\) a DEUX solutions : \(3\) et \(-3\). Écrire seulement \(x = 3\) est une faute classique — la parabole coupe la droite \(y = 9\) en deux points.
II) La fonction inverse
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\[f(x) = \frac{1}{x} \qquad \mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\] Décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) ET sur \(]0\,;+\infty[\) |
Courbe : une hyperbole, symétrique par rapport à l'origine. \(f\) est impaire : \(\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}\) |
⚠️ « Décroissante sur chaque intervalle » n'est PAS « décroissante sur \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) ». Contre-exemple immédiat : \(-1 < 1\) mais \(\dfrac{1}{-1} = -1\) est plus petit que \(\dfrac{1}{1} = 1\). Il faut donc écrire les deux intervalles séparément, avec le mot « et » — pas une union.
III) La fonction racine carrée
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\[f(x) = \sqrt{x} \qquad \mathcal{D}_f = [0\,;+\infty[ \qquad \text{croissante}\] |
💡 Deux réflexes : \(\sqrt{x}\) n'existe pas pour \(x < 0\), et \(\sqrt{x^2} = |x|\) — pas \(x\). Pour \(x = -3\) : \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\), et non \(-3\).
IV) Comparer sans calculer
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Une fonction croissante conserve l'ordre : \(a < b \Rightarrow f(a) < f(b)\). Une fonction décroissante inverse l'ordre : \(a < b \Rightarrow f(a) > f(b)\). |
⭐ C'est l'usage principal du chapitre : on compare deux images en invoquant le sens de variation sur le bon intervalle, sans jamais sortir la calculatrice. Encore faut-il vérifier que les deux nombres sont dans le même intervalle de monotonie.
Exemple 1 : comparer deux images
Comparer \((-5)^2\) et \((-3)^2\), puis \(\dfrac{1}{7}\) et \(\dfrac{1}{4}\).
✅ Voir la correction
Carrés : \(-5 < -3\), et ces deux nombres sont dans \(]-\infty\,;0]\) où la fonction carré est décroissante. Elle inverse donc l'ordre :
\[(-5)^2 > (-3)^2 \qquad \text{soit } 25 > 9\]
Inverses : \(4 < 7\), tous deux dans \(]0\,;+\infty[\) où la fonction inverse est décroissante :
\[\frac{1}{4} > \frac{1}{7}\]
💡 La phrase attendue en contrôle contient trois éléments : l'ordre de départ, l'intervalle, et le sens de variation. « Parce que c'est plus grand » ne rapporte rien.
Exemple 2 : résoudre graphiquement
Résoudre \(x^2 \leqslant 4\) à l'aide de la courbe.
✅ Voir la correction
La parabole passe sous la droite \(y = 4\) entre les deux points d'intersection, d'abscisses \(-2\) et \(2\) :
\[S = [-2\,;2]\]
⚠️ Répondre « \(x \leqslant 2\) » est l'erreur la plus fréquente : elle oublie toute la moitié négative. Un carré est petit quand \(x\) est proche de zéro, des deux côtés — le dessin le montre en un coup d'œil, l'algèbre seule fait trébucher.
À toi de jouer
- Comparer \((-8)^2\) et \((-6)^2\) en justifiant.
- Résoudre \(x^2 = 49\).
- Donner l'ensemble de définition de \(f(x) = \sqrt{x - 5}\).
- Comparer \(\dfrac{1}{-2}\) et \(\dfrac{1}{-9}\).
- Résoudre \(x^2 > 16\).
✅ Voir les réponses
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\(-8 < -6\), tous deux négatifs où la fonction carré décroît, donc \((-8)^2 > (-6)^2\) (soit \(64 > 36\)).
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\[x = 7 \;\text{ ou }\; x = -7\]
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\[x - 5 \geqslant 0 \iff x \geqslant 5 \qquad \mathcal{D}_f = [5\,;+\infty[\]
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\(-9 < -2\), tous deux dans \(]-\infty\,;0[\) où la fonction inverse décroît, donc \(\dfrac{1}{-9} > \dfrac{1}{-2}\) (soit \(-0{,}11 > -0{,}5\)).
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\[S = \;]-\infty\,;-4[\;\cup\;]4\,;+\infty[\]
Le carré est grand quand \(x\) est loin de zéro, des deux côtés.
Ce qu'il faut retenir
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