1. Les différents ensembles de nombres

Les nombres sont classés dans différents ensembles.

Définition

Un nombre naturel est un nombre entier positif ou nul.

\[\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\}\]

Exemples

• \(12\in\mathbb{N}\)
• \(0\in\mathbb{N}\)
• \(-3\notin\mathbb{N}\)

Définition

Les nombres relatifs sont les nombres entiers positifs ou négatifs.

\[\mathbb{Z}=\{\ldots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\ldots\}\]

Exemples

• \(-15\in\mathbb{Z}\)
• \(8\in\mathbb{Z}\)
• \(2,5\notin\mathbb{Z}\)

Définition

Un nombre décimal possède une écriture décimale finie.

Exemples

• \(4,8\)
• \(12\)
• \(-0,25\)

Contre-exemples

• \(\dfrac13\)
• \(\pi\)

Définition

Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme

\[\dfrac{a}{b}\]

avec

\[a\in\mathbb{Z} \qquad\text{et}\qquad b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}.\]

Exemples

\[\dfrac34 \qquad \dfrac{-7}{5} \qquad 5=\dfrac51\]

Définition

Les nombres réels regroupent tous les nombres utilisés en mathématiques.

Ils comprennent notamment :

• les nombres rationnels ;
• les nombres irrationnels.

Exemples de nombres irrationnels

\[\pi \qquad \sqrt2 \qquad \sqrt5\]

2. Inclusion des ensembles

Chaque ensemble est contenu dans le suivant.

\[\boxed{ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} }\]

Autrement dit :

• tout naturel est un entier ;
• tout entier est un décimal ;
• tout décimal est un rationnel ;
• tout rationnel est un réel.

Exemple

Le nombre

\[-8\]

appartient à

\[\mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\]

mais

\[-8\notin\mathbb{N}.\]

3. Appartenance

On utilise le symbole

\[\in\]

pour dire qu'un nombre appartient à un ensemble.

Exemples

\[5\in\mathbb{N}\]

\[-3\in\mathbb{Z}\]

\[0,75\in\mathbb{D}\]

Le symbole

\[\notin\]

signifie "n'appartient pas".

Exemples

\[-2\notin\mathbb{N}\]

\[\pi\notin\mathbb{Q}\]

4. Les nombres irrationnels

Un nombre irrationnel ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction.

Son écriture décimale est infinie et non périodique.

Exemples

\[\pi \qquad \sqrt2 \qquad \sqrt3\]

À retenir

• \(\mathbb{N}\) : naturels
• \(\mathbb{Z}\) : relatifs
• \(\mathbb{D}\) : décimaux
• \(\mathbb{Q}\) : rationnels
• \(\mathbb{R}\) : réels

et

\[\boxed{ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} }\]

Les nombres irrationnels

Définition

Définition

Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction

\[\frac{a}{b} \qquad (a,b\in\mathbb{Z}\text{ et }b\neq0).\]

Son écriture décimale est infinie et non périodique.

Exemples

\[\sqrt2 \qquad \sqrt3 \qquad \sqrt5 \qquad \pi\]

Contre-exemples

Les nombres suivants sont rationnels :

\[\frac34 \qquad -2 \qquad 0,125 \qquad 5\]

Remarque

Tous les nombres possédant une racine carrée ne sont pas irrationnels.

Par exemple :

\[\sqrt9=3\]

\[\sqrt{16}=4\]

\[\sqrt{100}=10\]

Ces nombres sont des entiers.

En revanche,

\[\sqrt2,\; \sqrt3,\; \sqrt5,\; \sqrt7\]

sont irrationnels.

Démonstration : \(\sqrt2\) est irrationnel

Propriété

Le nombre

\[\boxed{\sqrt2}\]

est irrationnel.

Démonstration

Nous allons raisonner par l'absurde.

Supposons que

\[\sqrt2\]

soit un nombre rationnel.

On peut alors écrire

\[\sqrt2=\frac{a}{b}\]

avec :

• \(a\in\mathbb Z\)
• \(b\in\mathbb Z\)
• \(b\neq0\)
• la fraction est irréductible.

Étape 1 : On élève au carré

En élevant les deux membres au carré :

\[2=\frac{a^2}{b^2}\]

On obtient alors

\[a^2=2b^2.\]

Le nombre

\[a^2\]

est donc pair.

Étape 2 : Conséquence

Propriété

Si le carré d'un entier est pair, alors cet entier est pair.

Ainsi,

\[a\]

est pair.

Il existe donc un entier \(k\) tel que

\[a=2k.\]

Étape 3 : On remplace

On remplace dans

\[a^2=2b^2.\]

On obtient

\[(2k)^2=2b^2\]

\[4k^2=2b^2\]

En divisant par \(2\) :

\[2k^2=b^2.\]

Le nombre

\[b^2\]

est donc pair.

Par conséquent,

\[b\]

est lui aussi pair.

Étape 4 : Contradiction

Nous avons montré que

• \(a\) est pair ;
• \(b\) est pair.

Ils sont donc tous les deux divisibles par \(2\).

La fraction

\[\frac ab\]

n'est donc pas irréductible.

Pourtant, au départ, nous avions supposé qu'elle l'était.

Nous obtenons une contradiction.

Notre hypothèse est donc fausse.

Ainsi,

\[\boxed{\sqrt2\notin\mathbb Q}\]

Autrement dit,

\[\boxed{\sqrt2\text{ est irrationnel.}}\]

Schéma de la démonstration

Supposons que √2 soit rationnel
              │
              ▼
       √2 = a/b
              │
              ▼
       a² = 2b²
              │
              ▼
         a² est pair
              │
              ▼
          a est pair
              │
              ▼
         a = 2k
              │
              ▼
       b² est pair
              │
              ▼
          b est pair
              │
              ▼
 a et b sont divisibles par 2
              │
              ▼
 La fraction n'est pas irréductible
              │
              ▼
      Contradiction
              │
              ▼
      √2 est irrationnel

À retenir

À retenir

Un nombre est :

• rationnel s'il peut s'écrire sous la forme

\[\frac ab\]

avec

\[a,b\in\mathbb Z \qquad b\neq0.\]

• irrationnel sinon.

Les nombres

\[\sqrt2,\; \sqrt3,\; \sqrt5,\; \pi\]

sont irrationnels.

Les nombres

\[\sqrt4,\; \sqrt9,\; \sqrt{25}\]

sont des entiers.