Cours de maths 2nde · Chapitre 4
Généralités sur les fonctions
Ensemble de définition, variations, extremums, parité : les bases de toute l'année de seconde.
I) Vocabulaire et notations
Une fonction \(f\) associe à chaque nombre \(x\) d'un ensemble un unique nombre noté \(f(x)\).
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Ensemble de définition \(\mathcal{D}_f\) : l'ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) existe. |
Deux interdits à connaître pas de division par zéro pas de racine carrée d'un négatif |
Exemple 1 : trouver l'ensemble de définition
Déterminer \(\mathcal{D}_f\) pour \(f(x) = \dfrac{1}{x-3}\), puis pour \(g(x) = \sqrt{x+2}\).
✅ Voir la correction
Pour \(f\), le dénominateur ne doit pas s'annuler :
\[x - 3 \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; x \neq 3 \qquad\text{donc}\qquad \mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}\]
Pour \(g\), la quantité sous la racine doit être positive ou nulle :
\[x + 2 \geqslant 0 \;\Longleftrightarrow\; x \geqslant -2 \qquad\text{donc}\qquad \mathcal{D}_g = [-2\,;+\infty[\]
💡 Réflexe : cherche d'abord s'il y a un dénominateur ou une racine. S'il n'y en a pas, l'ensemble de définition est \(\mathbb{R}\) tout entier.
II) Image et antécédent
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Image de \(a\) : le nombre \(f(a)\). |
Antécédent de \(b\) : tout \(x\) tel que \(f(x) = b\). |
III) Sens de variation
Sur un intervalle \(I\), une fonction est :
- croissante si elle « monte » : quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente ;
- décroissante si elle « descend » : quand \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue ;
- constante si elle ne change pas.
⚠️ Une fonction n'est jamais « croissante » tout court : elle l'est sur un intervalle. Préciser l'intervalle fait partie de la réponse attendue.
IV) Le tableau de variations
Il résume tout : les intervalles, le sens, et les valeurs aux bornes. Les flèches montent ou descendent, et on inscrit les images des extrémités.
💡 Un tableau de variations bien rempli permet de répondre à presque toutes les questions du chapitre : nombre de solutions d'une équation, comparaison d'images, recherche d'extremums.
V) Maximum et minimum
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\(f\) admet un maximum \(M\) en \(a\) sur \(I\) si, pour tout \(x\) de \(I\) : \(\;f(x) \leqslant f(a) = M\). De même pour le minimum, avec l'inégalité inversée. |
⚠️ Ne confonds pas le maximum (la valeur atteinte, \(M\)) et l'abscisse où il est atteint (\(a\)). La question « en quel point ? » et la question « combien vaut-il ? » n'ont pas la même réponse.
Exemple 2 : lire un tableau de variations
Une fonction \(f\) est croissante sur \([-3\,;1]\) puis décroissante sur \([1\,;5]\), avec \(f(-3) = -2\), \(f(1) = 4\) et \(f(5) = 0\). Combien l'équation \(f(x) = 3\) a-t-elle de solutions ?
✅ Voir la correction
Sur \([-3\,;1]\), \(f\) passe continûment de \(-2\) à \(4\) : la valeur \(3\) est atteinte une fois.
Sur \([1\,;5]\), \(f\) redescend de \(4\) à \(0\) : elle repasse par \(3\) une fois également.
L'équation a donc deux solutions.
💡 La méthode : sur chaque intervalle où la fonction est monotone, la valeur cherchée est atteinte une fois si elle est comprise entre les deux bornes, zéro fois sinon. On compte, intervalle par intervalle.
VI) Parité
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Fonction paire \[f(-x) = f(x)\] Courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. |
Fonction impaire \[f(-x) = -f(x)\] Courbe symétrique par rapport à l'origine. |
💡 \(x^2\) est paire, \(x^3\) est impaire — d'où les noms. Et la plupart des fonctions ne sont ni l'une ni l'autre : c'est le cas le plus fréquent.
Exemple 3 : étudier la parité
La fonction \(f(x) = x^2 - 4\) est-elle paire, impaire, ou ni l'un ni l'autre ?
✅ Voir la correction
On calcule \(f(-x)\) :
\[f(-x) = (-x)^2 - 4 = x^2 - 4 = f(x)\]
Donc \(f\) est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
💡 Toujours partir de \(f(-x)\) et le simplifier, puis comparer avec \(f(x)\) et \(-f(x)\). Ne conclus jamais d'après l'allure du dessin seul.
À toi de jouer
- Déterminer l'ensemble de définition de \(f(x) = \dfrac{2x}{x+5}\).
- Déterminer l'ensemble de définition de \(g(x) = \sqrt{3-x}\).
- \(h(x) = x^3\) est-elle paire ou impaire ?
- Une fonction croissante sur \([0\,;4]\) vérifie \(f(0) = 1\) et \(f(4) = 9\). Combien de solutions pour \(f(x) = 5\) sur cet intervalle ?
✅ Voir les réponses
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\[x + 5 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-5\}\]
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\[3 - x \geqslant 0 \;\Longrightarrow\; x \leqslant 3 \;\Longrightarrow\; \mathcal{D}_g = \;]-\infty\,;3]\]
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\[h(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -h(x)\]
Elle est impaire.
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\(5\) est compris entre \(1\) et \(9\), et la fonction est monotone : une seule solution.
Ce qu'il faut retenir
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