Cours de maths 2nde · Chapitre 2
Factorisation et identités remarquables
Factoriser avec un facteur commun ou une identité remarquable, combiner les deux méthodes, et s'en servir pour résoudre une équation.
Énoncé
Factoriser les expressions suivantes.
-
\(A=5x^2+3x\)
-
\(B=(2x-3)-x(2x-3)\)
-
\(C=(5x-1)^2-(x+2)^2\)
-
\(D=a^2-6a+9+4(a-3)\)
Savoir-faire
Définition
Factoriser consiste à transformer une somme ou une différence en un produit.
1. Rechercher un facteur commun
Lorsqu'un même facteur apparaît dans tous les termes, on peut le mettre en facteur.
\[ka+kb=k(a+b)\]
Exemple :
\[8x+12=x(8+12)\]
2. Reconnaître une identité remarquable
Les identités remarquables permettent également de factoriser.
Différence de deux carrés
\[a^2-b^2=(a+b)(a-b)\]
Carré d'une somme
\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\]
Carré d'une différence
\[a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\]
3. Combiner plusieurs méthodes
Certaines expressions nécessitent plusieurs étapes :
- reconnaître une identité remarquable ;
- puis mettre un facteur commun en évidence.
Corrigé détaillé
1.
Cliquer ici pour afficher la correction
\[A=5x^2+3x\]On remarque que les deux termes possèdent le facteur commun \(x\).
On met donc \(x\) en facteur :
\[A=5x^2+3x=5 \times x \times x +3\times x= x(5x+3)\]
Réponse :
\[\boxed{A=x(5x+3)}\]
2.
Cliquer ici pour afficher la correction
\[B=(2x-3)-x(2x-3)\]Le facteur commun est :
\[(2x-3)\]
On se ramène à la forme \[ka-kb=k(a-b)\] avec \[k=(2x-3) ; a=1 ; b=x\]
\[B=(2x-3)(1-x)=(2x-3)\times 1-x(2x-3)\]
Réponse :
\[\boxed{B=(2x-3)(1-x)}\]
3.
Cliquer ici pour afficher la correction
\[C=(5x-1)^2-(x+2)^2\]On reconnaît une différence de deux carrés :
\[a^2-b^2=(a+b)(a-b)\]
avec
\[a=5x-1 \qquad\text{et}\qquad b=x+2.\]
On obtient :
\[C=((5x-1)+(x+2))((5x-1)-(x+2))\]
On simplifie :
\[C=(6x+1)(4x-3)\]
Réponse :
\[\boxed{C=(6x+1)(4x-3)}\]
4.
Cliquer ici pour afficher la correction
\[D=a^2-6a+9+4(a-3)\]On reconnaît l'identité remarquable :
\[a^2-6a+9=(a-3)^2\]
Ainsi,
\[D=(a-3)^2+4(a-3)\]
On met ensuite \((a-3)\) en facteur :
\[D=(a-3)\big((a-3)+4\big)\]
Puis on simplifie :
\[D=(a-3)(a+1)\]
Réponse :
\[\boxed{D=(a-3)(a+1)}\]
À retenir
Pour factoriser une expression :
- rechercher un facteur commun ;
- reconnaître une identité remarquable ;
- combiner ces deux méthodes lorsque cela est nécessaire.
2) Résoudre une équation
Énoncé
Trouver la valeur du nombre "\(x\)" manquant.
Résoudre une équation
Énoncé
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.
-
\(3x+2(x-1)=x+5\)
-
\((5x-1)(x+7)=0\)
-
\(x^2-4-3(x+2)(x-1)=0\)
Corrigé détaillé
1.
\[3x+2(x-1)=x+5\]
On développe le membre de gauche :
\[3x+2x-2=x+5\]
On regroupe les inconnues d'un côté :
\[5x-x=5+2\]
\[4x=7\]
\[x=\frac74\]
Réponse :
\[\boxed{x=\frac74}\]
2.
\[(5x-1)(x+7)=0\]
Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul.
Premier facteur
\[5x-1=0\]
\[5x=1\]
\[x=\frac15\]
Deuxième facteur
\[x+7=0\]
\[x=-7\]
Réponse :
\[\boxed{S=\left\{-7;\frac15\right\}}\]
3.
\[x^2-4-3(x+2)(x-1)=0\]
On remarque que \(x^2-4\) est une identité remarquable de la forme \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\).
Donc :
\(x^2-4-3(x+2)(x-1)=(x+2)(x-2)-3(x+2)(x-1)=0\)
On factorise par \((x+2)\) :
\((x+2)(x-2)-3(x+2)(x-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+2)[x-2-3(x-1)]=0\)
\(\Leftrightarrow (x+2)(x-2-3x+3)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+2)(-2x+1)=0\)
On se retrouve avec une équation produit nul :
\((x+2)(-2x+1)=0\)
\(\Leftrightarrow x+2=0\) ou \(-2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x=-2\) ou \(-2x=-1\)
\(\Leftrightarrow x=-2\) ou \(x=\frac{1}{2}\)
\(S = \{-2 ; \frac{1}{2}\}\)