Cours de maths 2nde · Chapitre 9
Probabilités
Univers et loi de probabilité, équiprobabilité, réunion, intersection et événement contraire.
Le collège compte des cas favorables. La seconde formalise : on définit un univers, on lui associe un modèle, et on calcule sur des événements qu'on combine avec « ou », « et », « contraire ».
I) Vocabulaire
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Univers \(\Omega\) : l'ensemble de toutes les issues possibles. Événement : une partie de l'univers. |
Loi de probabilité : à chaque issue on associe un nombre entre \(0\) et \(1\), et la somme fait exactement \(1\). |
💡 Le contrôle qui ne trompe pas : si la somme des probabilités de ton tableau ne fait pas 1, le modèle est faux. C'est la première chose à vérifier, avant tout calcul.
II) Équiprobabilité
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Quand toutes les issues ont la même probabilité : \[P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}\] |
⚠️ Cette formule n'est valable QUE si les issues sont équiprobables. Avec un dé truqué, ou en tirant une bille dans un sac où les couleurs ne sont pas en même nombre, elle ne s'applique pas — il faut alors une loi donnée par l'énoncé.
III) Réunion, intersection, contraire
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\(A \cup B\) — « \(A\) ou \(B\) » au moins l'un des deux |
\(A \cap B\) — « \(A\) et \(B\) » les deux à la fois |
\(\overline{A}\) — le contraire \[P(\overline{A}) = 1 - P(A)\] |
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Formule à connaître par cœur \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\] |
💡 Le \(-\,P(A \cap B)\) n'est pas un caprice : la zone centrale appartient aux deux disques, donc elle est comptée deux fois quand on additionne. On la retire une fois pour rétablir le compte.
⚠️ Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles (ils ne peuvent pas se produire ensemble), alors \(P(A \cap B) = 0\) et la formule se simplifie en \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\). Mais il faut le justifier, pas le supposer.
Exemple 1 : un jeu de 32 cartes
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Soit \(A\) « la carte est un cœur » et \(B\) « la carte est un roi ». Calculer \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A \cap B)\) puis \(P(A \cup B)\).
✅ Voir la correction
Les tirages sont équiprobables ; il y a 8 cœurs et 4 rois.
\[P(A) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \qquad P(B) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\]
Une seule carte est à la fois cœur et roi — le roi de cœur :
\[P(A \cap B) = \frac{1}{32}\]
D'où :
\[P(A \cup B) = \frac{8}{32} + \frac{4}{32} - \frac{1}{32} = \frac{11}{32}\]
⚠️ Répondre \(\frac{12}{32}\) est l'erreur attendue : elle compte le roi de cœur deux fois. Dès qu'un énoncé propose deux caractéristiques qui peuvent se cumuler, le terme d'intersection est là.
Exemple 2 : passer par le contraire
On lance trois fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un pile ?
✅ Voir la correction
L'univers compte \(2^3 = 8\) issues équiprobables. L'événement contraire de « au moins un pile » est « aucun pile », c'est-à-dire trois faces — une seule issue.
\[P(\text{aucun pile}) = \frac{1}{8}\]
\[P(\text{au moins un pile}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\]
💡 « Au moins un » appelle presque toujours l'événement contraire. Compter directement demanderait d'énumérer sept cas ; le contraire n'en a qu'un. Ce réflexe resservira jusqu'en terminale.
Exemple 3 : un modèle non équiprobable
Un dé truqué donne : \(P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 0{,}1\). Quelle est \(P(6)\) ? Puis la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
✅ Voir la correction
La somme des probabilités vaut \(1\) :
\[5 \times 0{,}1 + P(6) = 1 \iff P(6) = 0{,}5\]
Les faces paires sont \(2\), \(4\) et \(6\) :
\[P(\text{pair}) = 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}5 = 0{,}7\]
⚠️ Ici la formule « favorables sur possibles » donnerait \(\frac{3}{6} = 0{,}5\) — faux, car les issues ne sont pas équiprobables. Avant de diviser, toujours se demander si le hasard est « honnête ».
À toi de jouer
- On lance un dé équilibré. Probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ?
- \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}5\), \(P(A \cap B) = 0{,}2\). Calculer \(P(A \cup B)\).
- Avec les mêmes données, calculer \(P(\overline{A})\).
- On lance deux pièces. Probabilité d'obtenir au moins un face ?
- Une urne contient 3 boules rouges et 7 vertes. Probabilité de tirer une rouge ?
✅ Voir les réponses
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\[P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]
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\[P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}7\]
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\[P(\overline{A}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\]
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Contraire : « aucun face », soit pile-pile, une issue sur quatre.
\[P = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\]
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\[P = \frac{3}{10} = 0{,}3\]
Ce qu'il faut retenir
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