Cours de maths 2nde · Chapitre 7
Les vecteurs
Égalité de vecteurs, coordonnées, relation de Chasles, colinéarité et déterminant.
Un vecteur, c'est un déplacement : une direction, un sens, une longueur. Peu importe d'où l'on part — c'est ce qui le distingue d'un segment, et ce qui le rend si commode pour démontrer.
I) Définition et égalité
|
\(\vec{AB} = \vec{CD}\) signifie que les deux déplacements sont identiques : même direction, même sens, même longueur. Autrement dit : \(ABDC\) est un parallélogramme. |
⚠️ Attention à l'ordre des lettres. Si \(\vec{AB} = \vec{CD}\), le parallélogramme est \(ABDC\) — pas \(ABCD\). Une lettre mal placée transforme un parallélogramme en figure croisée.
II) Coordonnées
|
\[\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\] arrivée moins départ |
\[\left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\] c'est la distance \(AB\) |
💡 Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales, l'une après l'autre. C'est ce qui transforme une question de géométrie en un petit système à résoudre.
III) Somme de vecteurs
|
Relation de Chasles \[\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\] |
En coordonnées on additionne composante par composante |
⭐ Chasles est l'outil de démonstration du chapitre : le point d'arrivée du premier vecteur doit être le point de départ du second. Si ce n'est pas le cas, on introduit un point intermédiaire, souvent l'origine : \(\vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB}\).
IV) Colinéarité
|
\(\vec{u}(x\,;y)\) et \(\vec{v}(x'\,;y')\) sont colinéaires si \(\;xy' - yx' = 0\). Ce nombre \(xy' - yx'\) s'appelle le déterminant. |
💡 À quoi ça sert, concrètement :
- Points alignés : \(A\), \(B\), \(C\) alignés \(\iff\) \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) colinéaires ;
- Droites parallèles : \((AB) \parallel (CD) \iff\) \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) colinéaires.
Exemple 1 : montrer un alignement
Soit \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;3)\) et \(C(10\,;5)\). Ces points sont-ils alignés ?
✅ Voir la correction
On calcule deux vecteurs partant du même point :
\[\vec{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \vec{AC}\begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix}\]
Déterminant :
\[3 \times 3 - 1 \times 9 = 9 - 9 = 0\]
Le déterminant est nul : les vecteurs sont colinéaires, donc \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
💡 On voit d'ailleurs directement que \(\vec{AC} = 3\,\vec{AB}\) — le point \(C\) est trois fois plus loin, dans la même direction. Les deux justifications sont acceptées.
Exemple 2 : compléter un parallélogramme
Soit \(A(1\,;1)\), \(B(5\,;2)\) et \(C(6\,;5)\). Déterminer \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
✅ Voir la correction
Dans le parallélogramme \(ABCD\), les côtés \([AB]\) et \([DC]\) sont parallèles et de même longueur, ce qui s'écrit :
\[\vec{AB} = \vec{DC}\]
On calcule \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\), puis on écrit \(\vec{DC}\begin{pmatrix} 6 - x_D \\ 5 - y_D \end{pmatrix}\) et on identifie :
\[6 - x_D = 4 \;\Rightarrow\; x_D = 2 \qquad 5 - y_D = 1 \;\Rightarrow\; y_D = 4\]
Donc \(D(2\,;4)\).
⚠️ Le piège est d'écrire \(\vec{AB} = \vec{CD}\) : cela donnerait un quadrilatère croisé. Dans \(ABCD\), on parcourt les sommets dans l'ordre — les côtés opposés sont \([AB]\) et \([CD]\), donc les vecteurs sont \(\vec{AB}\) et \(\vec{DC}\), en sens inverse.
À toi de jouer
- \(A(2\,;-1)\) et \(B(5\,;3)\). Donner les coordonnées de \(\vec{AB}\) et sa norme.
- Les vecteurs \(\vec{u}(2\,;3)\) et \(\vec{v}(6\,;9)\) sont-ils colinéaires ?
- Simplifier \(\vec{MN} + \vec{NP} + \vec{PQ}\).
- \(A(0\,;0)\), \(B(3\,;1)\), \(C(4\,;4)\) : déterminer \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
- Les points \(E(1\,;1)\), \(F(3\,;4)\) et \(G(7\,;9)\) sont-ils alignés ?
✅ Voir les réponses
-
\[\vec{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \qquad \left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt{9 + 16} = 5\]
-
\(2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0\) : oui, colinéaires (et même \(\vec{v} = 3\vec{u}\)).
-
\[\vec{MN} + \vec{NP} + \vec{PQ} = \vec{MQ}\]
-
\(\vec{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{DC}\begin{pmatrix} 4 - x_D \\ 4 - y_D \end{pmatrix}\), d'où \(x_D = 1\) et \(y_D = 3\) : \(D(1\,;3)\).
-
\(\vec{EF}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{EG}\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}\) ; déterminant \(2 \times 8 - 3 \times 6 = 16 - 18 = -2 \neq 0\). Non alignés.
Ce qu'il faut retenir
|