Cours de maths Terminale · Chapitre 3
Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Continuité des fonctions usuelles, théorème des valeurs intermédiaires, corollaire d'unicité et encadrement d'une solution.
Ce chapitre sert à répondre à une question qui tombe à tous les bacs : combien de solutions a l'équation \(f(x) = k\), et où se trouvent-elles ? Sans lui, on ne peut que deviner à partir du dessin.
I) La continuité
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Une fonction est continue sur un intervalle si on peut tracer sa courbe sans lever le crayon. |
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À savoir sans démonstration : les polynômes, les fonctions rationnelles (sur chaque intervalle de leur ensemble de définition), \(\sqrt{\;}\), \(\exp\), \(\ln\), \(\sin\), \(\cos\) sont continues. Sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues le sont aussi. |
💡 En pratique, on ne démontre presque jamais la continuité : on cite le fait que la fonction est un polynôme, un quotient, ou une composée de fonctions usuelles. Une phrase suffit — mais elle est obligatoire, car tout le théorème qui suit repose dessus.
⚠️ Dérivable \(\Rightarrow\) continue, mais la réciproque est fausse. La fonction valeur absolue est continue en \(0\) et n'y est pas dérivable : sa courbe fait un angle.
II) Le théorème des valeurs intermédiaires
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Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet au moins une solution dans \([a\,;b]\). |
⚠️ « Au moins une » n'est pas « exactement une ». Le théorème seul ne compte pas les solutions — il garantit qu'il en existe. Pour l'unicité, il faut l'ingrédient suivant.
III) Le corollaire : unicité
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Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\), alors pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution dans \([a\,;b]\). |
💡 La monotonie stricte est ce qui interdit à la courbe de repasser par la même hauteur. Continuité = « au moins une » ; monotonie stricte = « au plus une ». Les deux ensemble donnent « exactement une ». Retiens ce partage des rôles, il structure toute la rédaction.
Exemple 1 : la rédaction attendue
Montrer que l'équation \(x^3 + x - 3 = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([1\,;2]\).
✅ Voir la correction
Posons \(f(x) = x^3 + x - 3\) sur \([1\,;2]\).
① Continuité — \(f\) est un polynôme, donc continue sur \([1\,;2]\).
② Stricte monotonie — \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) pour tout réel, donc \(f\) est strictement croissante sur \([1\,;2]\).
③ Encadrement — on calcule les valeurs aux bornes :
\[f(1) = 1 + 1 - 3 = -1 \qquad f(2) = 8 + 2 - 3 = 7\]
Or \(0\) est bien compris entre \(-1\) et \(7\).
④ Conclusion — d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([1\,;2]\).
💡 Ces quatre points sont exactement le barème. Beaucoup d'élèves calculent \(f(1)\) et \(f(2)\) puis concluent : il manque alors la continuité et la monotonie, c'est-à-dire l'essentiel du raisonnement.
IV) Encadrer la solution
Une fois l'existence acquise, on cherche un encadrement de \(\alpha\) à la précision demandée. Le principe : tester des valeurs et regarder les changements de signe.
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Si \(f\) est croissante et que \(f(u) < 0 < f(v)\), alors \(\;u < \alpha < v\). |
💡 À la calculatrice, on balaie avec un pas de \(0{,}1\) puis de \(0{,}01\). Chaque changement de signe resserre l'encadrement d'un facteur 10. La dichotomie fait la même chose en coupant l'intervalle en deux à chaque étape.
Exemple 2 : encadrer au centième
Pour la fonction de l'exemple 1, donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}01\).
✅ Voir la correction
On calcule quelques valeurs :
\[f(1{,}2) = 1{,}728 + 1{,}2 - 3 = -0{,}072 \qquad f(1{,}3) = 2{,}197 + 1{,}3 - 3 = 0{,}497\]
Le signe change entre \(1{,}2\) et \(1{,}3\), donc \(1{,}2 < \alpha < 1{,}3\). On affine :
\[f(1{,}21) \approx -0{,}018 \qquad f(1{,}22) \approx 0{,}036\]
D'où l'encadrement demandé :
\[1{,}21 < \alpha < 1{,}22\]
⚠️ On ne conclut jamais « \(\alpha \approx 1{,}21\) » sans avoir montré le changement de signe : c'est lui qui justifie l'encadrement. Une valeur affichée par la calculatrice n'est pas une démonstration.
Exemple 3 : quand la monotonie manque
Soit \(g(x) = x^3 - 3x\) sur \([-2\,;2]\), avec \(g(-2) = -2\) et \(g(2) = 2\). Peut-on affirmer que \(g(x) = 0\) a une unique solution ?
✅ Voir la correction
Non. \(g\) est bien continue, et \(0\) est bien compris entre \(-2\) et \(2\) : le théorème garantit au moins une solution. Mais \(g\) n'est pas monotone sur \([-2\,;2]\) :
\[g'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\]
qui change de signe en \(-1\) et en \(1\). De fait, l'équation a trois solutions : \(-\sqrt{3}\), \(0\) et \(\sqrt{3}\).
💡 La bonne méthode dans ce cas : découper \([-2\,;2]\) en intervalles où \(g\) est monotone — ici \([-2\,;-1]\), \([-1\,;1]\) et \([1\,;2]\) — et appliquer le corollaire sur chacun. On obtient alors le nombre exact de solutions.
À toi de jouer
- Montrer que \(x^3 + 2x - 1 = 0\) admet une unique solution dans \([0\,;1]\).
- Donner un encadrement de cette solution d'amplitude \(0{,}1\).
- La fonction \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) est-elle continue sur \([-1\,;1]\) ?
- Une fonction continue sur \([0\,;5]\) vérifie \(f(0) = 3\) et \(f(5) = 3\). Peut-on affirmer que \(f(x) = 4\) n'a aucune solution ?
✅ Voir les réponses
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\(f(x) = x^3 + 2x - 1\) est un polynôme donc continue ; \(f'(x) = 3x^2 + 2 > 0\) donc strictement croissante. Enfin \(f(0) = -1\) et \(f(1) = 2\), et \(0 \in [-1\,;2]\). D'après le corollaire, il existe une unique solution dans \([0\,;1]\).
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\[f(0{,}4) = 0{,}064 + 0{,}8 - 1 = -0{,}136 \qquad f(0{,}5) = 0{,}125 + 1 - 1 = 0{,}125\]
Le signe change : \(\;0{,}4 < \alpha < 0{,}5\).
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Non : elle n'est pas définie en \(0\), donc pas continue sur \([-1\,;1]\). Elle l'est sur \([-1\,;0[\) et sur \(]0\,;1]\), séparément.
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Non. Le théorème ne dit rien quand \(k\) est en dehors de \([f(a)\,;f(b)]\) : il ne garantit pas l'existence, mais il n'interdit pas non plus. La fonction peut très bien monter à \(6\) entre les deux bornes et croiser deux fois la valeur \(4\). Un théorème d'existence ne se lit jamais à l'envers.
Ce qu'il faut retenir
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