Cours de maths Terminale · Chapitre 4
La fonction logarithme népérien
Définition, propriétés algébriques, résolution d'équations, dérivée, limites et croissances comparées.
La fonction exponentielle transforme une somme en produit. Le logarithme fait exactement l'inverse : il transforme un produit en somme. C'est tout l'intérêt du chapitre — et la raison pour laquelle il sert à résoudre les équations où l'inconnue est en exposant.
I) Définition
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Pour tout \(x > 0\) et tout réel \(y\) : \[\ln x = y \iff x = \mathrm{e}^{y}\] La fonction \(\ln\) est définie sur \(\;]0\,;+\infty[\;\) uniquement. |
⚠️ \(\ln\) d'un nombre négatif ou de zéro n'existe pas. Avant toute résolution, on écrit les conditions d'existence — c'est la première ligne attendue en contrôle, et elle rapporte des points à elle seule.
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Deux valeurs à connaître \[\ln 1 = 0 \qquad \ln \mathrm{e} = 1\] |
Les deux fonctions s'annulent \[\mathrm{e}^{\ln x} = x \;\;(x>0) \qquad \ln\left(\mathrm{e}^{x}\right) = x\] |
💡 Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\) : c'est la signature de deux fonctions réciproques. Si tu retiens ce dessin, tu retrouves tous les signes de limites sans les apprendre.
II) Les propriétés algébriques
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\[\ln(a \times b) = \ln a + \ln b\] \[\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\] |
\[\ln\!\left(a^{n}\right) = n \ln a\] \[\ln \sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a\] |
⚠️ Les pièges classiques, tous faux :
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\[\ln(a+b) \neq \ln a + \ln b \qquad \frac{\ln a}{\ln b} \neq \ln\!\left(\frac{a}{b}\right) \qquad (\ln a)^2 \neq 2\ln a\] |
💡 La règle à retenir : le logarithme ne « rentre » que dans un produit, un quotient ou une puissance. Devant une somme, il ne se passe rien.
Exemple 1 : simplifier une expression
Écrire \(A = \ln 8 - \ln 2 + \ln 6\) sous la forme \(\ln k\) avec \(k\) entier.
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On utilise la différence, puis la somme :
\[A = \ln\!\left(\frac{8}{2}\right) + \ln 6 = \ln 4 + \ln 6 = \ln(4 \times 6) = \ln 24\]
💡 On peut aussi tout écrire en \(\ln 2\) et \(\ln 3\) : \(\ln 8 = 3\ln 2\), \(\ln 6 = \ln 2 + \ln 3\), ce qui donne \(3\ln 2 - \ln 2 + \ln 2 + \ln 3 = 3\ln 2 + \ln 3 = \ln 24\). Les deux chemins sont acceptés.
III) Résoudre une équation
Le logarithme est strictement croissant sur \(]0\,;+\infty[\). C'est ce qui autorise à « enlever les \(\ln\) » :
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\[\ln a = \ln b \iff a = b\] |
\[\ln a < \ln b \iff a < b\] le sens est conservé |
⚠️ Toujours dans cet ordre : ① conditions d'existence, ② résolution, ③ on garde uniquement les solutions compatibles avec ①.
Exemple 2 : une équation avec une condition
Résoudre \(\ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4\).
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① Conditions d'existence : il faut \(x - 1 > 0\) et \(x + 2 > 0\), c'est-à-dire \(x > 1\) et \(x > -2\). La condition retenue est donc \(\;x > 1\).
② Résolution — on regroupe le membre de gauche :
\[\ln\!\big((x-1)(x+2)\big) = \ln 4 \iff (x-1)(x+2) = 4\]
\[x^2 + x - 2 = 4 \iff x^2 + x - 6 = 0\]
Discriminant : \(\Delta = 1 + 24 = 25\), donc \(\sqrt{\Delta} = 5\) et :
\[x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \qquad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2\]
③ Retour aux conditions : \(-3\) ne vérifie pas \(x > 1\), on l'écarte. La seule solution est :
\[\boxed{\,x = 2\,}\]
⚠️ Sans l'étape ①, on aurait donné deux solutions dont une impossible — \(\ln(-4)\) n'existe pas. C'est la faute la plus sanctionnée du chapitre.
Exemple 3 : l'inconnue en exposant
Un capital placé augmente de \(4\,\%\) par an. Au bout de combien d'années aura-t-il doublé ?
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Après \(n\) années, le capital est multiplié par \(1{,}04^{\,n}\). On cherche \(n\) tel que :
\[1{,}04^{\,n} \geqslant 2\]
On applique \(\ln\) aux deux membres — la fonction étant croissante, le sens est conservé :
\[\ln\!\left(1{,}04^{\,n}\right) \geqslant \ln 2 \iff n \ln(1{,}04) \geqslant \ln 2\]
Comme \(\ln(1{,}04) > 0\), on divise sans changer le sens :
\[n \geqslant \frac{\ln 2}{\ln(1{,}04)} \approx 17{,}67\]
Le capital aura donc doublé au bout de 18 ans.
💡 C'est l'usage principal du logarithme : faire descendre une inconnue qui est en exposant. Et attention au dernier réflexe — \(n\) étant un nombre d'années entier, on arrondit à l'entier supérieur, pas au plus proche.
IV) Dérivée, variations et limites
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Dérivée \[(\ln x)' = \frac{1}{x} \qquad \big(\ln u\big)' = \frac{u'}{u}\] |
Limites \[\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty\] |
Sur \(]0\,;+\infty[\), \(\dfrac{1}{x} > 0\) : la fonction \(\ln\) est strictement croissante. L'axe des ordonnées est asymptote verticale à sa courbe.
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Croissances comparées — le logarithme est plus lent que n'importe quelle puissance : \[\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0\] |
💡 Ces deux limites lèvent des formes indéterminées (\(\frac{\infty}{\infty}\) et \(0 \times \infty\)). Retiens la phrase : « la puissance l'emporte toujours sur le logarithme » — elle donne le résultat sans calcul.
Exemple 4 : une dérivée composée
Dériver \(f(x) = \ln\!\left(x^2 + 1\right)\) sur \(\mathbb{R}\).
✅ Voir la correction
On pose \(u(x) = x^2 + 1\), donc \(u'(x) = 2x\). Comme \(u(x) > 0\) pour tout réel, \(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier.
\[f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{2x}{x^2 + 1}\]
Le dénominateur est toujours positif : \(f'\) a donc le signe de \(2x\). La fonction \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;0]\) et croît sur \([0\,;+\infty[\).
💡 Le réflexe qui fait gagner du temps : dans \(\dfrac{u'}{u}\), le dénominateur \(u\) est positif par construction (sinon le \(\ln\) n'existerait pas). Le signe de la dérivée est donc toujours celui de \(u'\).
À toi de jouer
- Écrire \(\ln 45 - \ln 5\) sous la forme \(\ln k\).
- Résoudre \(\ln(2x - 3) = \ln 5\).
- Résoudre \(3^{\,n} > 500\), avec \(n\) entier.
- Dériver \(g(x) = \ln(5x - 2)\) sur \(\left]\dfrac{2}{5}\,;+\infty\right[\).
- Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^2}\).
✅ Voir les réponses
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\[\ln 45 - \ln 5 = \ln\!\left(\frac{45}{5}\right) = \ln 9\]
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Condition d'existence : \(2x - 3 > 0\), soit \(x > \dfrac{3}{2}\).
\[2x - 3 = 5 \iff x = 4\]
Or \(4 > \dfrac{3}{2}\) : la solution est \(x = 4\).
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\[n \ln 3 > \ln 500 \iff n > \frac{\ln 500}{\ln 3} \approx 5{,}66\]
Le plus petit entier convenable est \(n = 6\).
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\[g'(x) = \frac{5}{5x - 2}\]
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On se ramène à la croissance comparée :
\[\frac{\ln x}{x^2} = \frac{\ln x}{x} \times \frac{1}{x} \;\longrightarrow\; 0 \times 0 = 0\]
Ce qu'il faut retenir
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