Cours de maths Terminale · Chapitre 1
Limites de fonctions
Limites en l'infini et en un point, formes indéterminées, terme dominant, théorème des gendarmes et asymptotes.
Étudier une limite, c'est répondre à une question simple : vers quoi se dirige \(f(x)\) quand \(x\) se dirige quelque part ? Tout le chapitre tient dans cette phrase.
I) Limite en \(+\infty\) et en \(-\infty\)
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Limite finie \[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell\] La courbe se rapproche indéfiniment de la droite d'équation \(y = \ell\) : c'est une asymptote horizontale. |
Limite infinie \[\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\] \(f(x)\) finit par dépasser n'importe quel nombre, aussi grand soit-il. |
💡 Une asymptote n'est pas un mur : la courbe peut la traverser. Elle indique seulement la direction prise « tout au bout ».
II) Les limites de référence
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En \(+\infty\) \[\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty\] \[\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0\] |
En \(0\) \[\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\] Les deux côtés donnent des résultats opposés. |
⚠️ Le signe du côté par lequel on arrive change tout. Écrire \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\) sans préciser \(0^+\) ou \(0^-\) n'a pas de sens : la limite n'existe pas.
III) Opérations sur les limites
Somme, produit, quotient : on calcule « comme d'habitude », sauf dans quatre situations où le résultat dépend de la fonction et pas seulement de la forme.
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Les quatre formes indéterminées \[\infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0}\] Face à l'une d'elles : il faut transformer l'écriture, jamais conclure. |
💡 « Indéterminée » ne veut pas dire « pas de limite » : cela veut dire que cette écriture-là ne suffit pas à décider. On factorise, on simplifie, on utilise une quantité conjuguée — et la limite apparaît.
Exemple 1 : la méthode du terme dominant
Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} \left(3x^2 - 5x + 1\right)\).
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La forme brute donne \(+\infty - \infty\) : indéterminée. On factorise par le terme de plus haut degré :
\[3x^2 - 5x + 1 = x^2\left(3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}\right)\]
Quand \(x \to +\infty\) : \(\dfrac{5}{x} \to 0\) et \(\dfrac{1}{x^2} \to 0\), donc la parenthèse tend vers \(3\).
\[x^2 \to +\infty \quad\text{et}\quad \left(3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}\right) \to 3 \qquad\text{donc}\qquad \lim_{x \to +\infty} \left(3x^2 - 5x + 1\right) = +\infty\]
💡 Retiens le résultat général : à l'infini, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. Mais en contrôle, la factorisation doit apparaître — c'est elle qui est notée.
Exemple 2 : un quotient \(\dfrac{\infty}{\infty}\)
Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 + 3x}{x^2 - 1}\).
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Numérateur et dénominateur tendent tous deux vers \(+\infty\) : forme \(\dfrac{\infty}{\infty}\).
On factorise en haut et en bas par le terme dominant, puis on simplifie :
\[\frac{2x^2 + 3x}{x^2 - 1} = \frac{x^2\left(2 + \dfrac{3}{x}\right)}{x^2\left(1 - \dfrac{1}{x^2}\right)} = \frac{2 + \dfrac{3}{x}}{1 - \dfrac{1}{x^2}}\]
Chaque petite fraction tend vers \(0\), donc :
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 3x}{x^2 - 1} = \frac{2}{1} = 2\]
La courbe admet la droite \(y = 2\) comme asymptote horizontale en \(+\infty\).
⚠️ La simplification de \(x^2\) n'est légitime que parce que \(x \neq 0\) — ce qui est acquis puisque \(x\) tend vers \(+\infty\). Le réflexe reste : on ne simplifie jamais par une quantité qui pourrait être nulle.
IV) Le théorème des gendarmes
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Si, pour \(x\) assez grand, \(\;u(x) \leqslant f(x) \leqslant v(x)\;\) et si \(u\) et \(v\) ont la même limite \(\ell\), alors : \[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell\] |
💡 Le nom vient de l'image : deux gendarmes qui encadrent un prisonnier et vont au même endroit y emmènent forcément le prisonnier. On l'utilise dès qu'apparaît un \(\sin\), un \(\cos\), ou toute quantité bornée.
Exemple 3 : encadrer pour conclure
Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x}\).
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On part de l'encadrement valable pour tout réel : \(\;-1 \leqslant \sin x \leqslant 1\).
Pour \(x > 0\), on divise par \(x\) sans changer le sens des inégalités :
\[-\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin x}{x} \leqslant \frac{1}{x}\]
Or \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-1}{x} = 0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0\). D'après le théorème des gendarmes :
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0\]
⚠️ La précision « pour \(x > 0\) » est indispensable : diviser par un nombre négatif inverserait les inégalités. C'est la faute la plus fréquente sur cet exercice.
V) Asymptotes : le vocabulaire attendu
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Asymptote horizontale \(y = \ell\) quand \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell\) |
Asymptote verticale \(x = a\) quand \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty\) |
💡 Réflexe de rédaction : une asymptote s'annonce toujours avec son équation et l'endroit où elle vaut (« en \(+\infty\) », « à droite de \(2\) »). « Il y a une asymptote » ne rapporte aucun point.
À toi de jouer
- Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} \left(x^3 - 4x^2\right)\).
- Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{5x - 1}{2x + 3}\) et en déduire une asymptote.
- Calculer \(\lim\limits_{x \to 2^+} \dfrac{1}{x - 2}\).
- Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\cos x + 3}{x}\).
✅ Voir les réponses
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Forme \(\infty - \infty\). On factorise :
\[x^3 - 4x^2 = x^3\left(1 - \frac{4}{x}\right) \;\longrightarrow\; +\infty \times 1 = +\infty\]
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\[\frac{5x - 1}{2x + 3} = \frac{x\left(5 - \dfrac{1}{x}\right)}{x\left(2 + \dfrac{3}{x}\right)} = \frac{5 - \dfrac{1}{x}}{2 + \dfrac{3}{x}} \;\longrightarrow\; \frac{5}{2}\]
La droite d'équation \(y = \dfrac{5}{2}\) est asymptote horizontale en \(+\infty\).
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Quand \(x \to 2^+\), on a \(x - 2 \to 0\) en restant positif, donc :
\[\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x - 2} = +\infty\]
La droite \(x = 2\) est asymptote verticale.
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Comme \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\), on a \(2 \leqslant \cos x + 3 \leqslant 4\), donc pour \(x > 0\) :
\[\frac{2}{x} \leqslant \frac{\cos x + 3}{x} \leqslant \frac{4}{x}\]
Les deux bornes tendent vers \(0\) : la limite vaut \(0\).
Ce qu'il faut retenir
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