Cours de maths Terminale · Chapitre 8
Géométrie dans l'espace
Vecteurs et coordonnées, colinéarité, représentation paramétrique, produit scalaire, vecteur normal et distance à un plan.
Tout le chapitre repose sur une idée : on remplace les figures par des calculs. Une fois les points repérés par trois coordonnées, les questions « ces points sont-ils alignés ? », « cette droite coupe-t-elle ce plan ? », « quelle est la distance ? » deviennent de l'algèbre.
I) Vecteurs et coordonnées
Dans un repère orthonormé \((O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\), chaque point a trois coordonnées \((x\,;y\,;z)\) et chaque vecteur trois composantes.
|
Vecteur entre deux points \[\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}\] |
Norme (longueur) \[\left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\] |
💡 Rien de nouveau par rapport au plan : on ajoute simplement une troisième coordonnée partout. Toutes les formules de seconde se prolongent en ajoutant un terme.
II) Colinéarité et coplanarité
|
Colinéaires : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe \(k\) tel que \(\vec{v} = k\,\vec{u}\) — leurs composantes sont proportionnelles. Coplanaires : \(\vec{w}\) est coplanaire avec \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) (non colinéaires) s'il existe \(a\) et \(b\) tels que \(\;\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}\). |
💡 Pour montrer que quatre points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires, on cherche à écrire \(\vec{AD}\) comme combinaison de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\). Le système a trois équations (une par coordonnée) pour deux inconnues : s'il admet une solution, les points sont coplanaires ; sinon, non.
III) Représentation paramétrique d'une droite
|
La droite passant par \(A(x_A\,;y_A\,;z_A)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(a\,;b\,;c)\) : \[\begin{cases} x = x_A + a t \\ y = y_A + b t \\ z = z_A + c t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}\] |
⚠️ Une droite n'a pas UNE représentation paramétrique, elle en a une infinité : changer de point de départ ou multiplier le vecteur directeur par un réel non nul donne une écriture différente de la même droite. Deux systèmes qui ne se ressemblent pas peuvent décrire la même droite.
IV) Produit scalaire
|
Avec les coordonnées \[\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'\] |
Avec l'angle \[\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta\] |
|
Le résultat le plus utilisé du chapitre \[\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\] |
💡 Le produit scalaire transforme une question d'angle droit en une simple addition de trois produits. C'est lui qui rend le chapitre calculable — retiens surtout l'équivalence ci-dessus, elle sert dans la moitié des questions.
V) Équation cartésienne d'un plan
|
Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(a\,;b\,;c)\) a une équation de la forme : \[ax + by + cz + d = 0\] Et réciproquement : dans une telle équation, les coefficients de \(x\), \(y\) et \(z\) sont les composantes d'un vecteur normal. |
⭐ Cette lecture directe est le raccourci le plus rentable du chapitre : devant \(2x - y + 3z - 7 = 0\), on sait immédiatement que \(\vec{n}(2\,;-1\,;3)\) est normal au plan. Beaucoup de questions se résolvent en une ligne grâce à cela.
Exemple 1 : équation d'un plan
Déterminer une équation cartésienne du plan passant par \(A(1\,;2\,;-1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(3\,;-1\,;2)\).
✅ Voir la correction
L'équation est de la forme \(3x - y + 2z + d = 0\). On détermine \(d\) en écrivant que \(A\) appartient au plan :
\[3(1) - 2 + 2(-1) + d = 0 \iff 3 - 2 - 2 + d = 0 \iff d = 1\]
Une équation du plan est donc :
\[3x - y + 2z + 1 = 0\]
💡 Méthode en deux temps, toujours la même : on écrit l'équation avec les composantes du vecteur normal, puis on trouve \(d\) en y injectant les coordonnées du point donné.
Exemple 2 : intersection d'une droite et d'un plan
Soit la droite \(\mathcal{D}\) de représentation \(\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = 3 + t \end{cases}\) et le plan \(\mathcal{P} : x + y - z + 2 = 0\). Déterminer leur intersection.
✅ Voir la correction
On remplace \(x\), \(y\) et \(z\) par leurs expressions en \(t\) dans l'équation du plan :
\[(1 + 2t) + (-t) - (3 + t) + 2 = 0\]
\[1 + 2t - t - 3 - t + 2 = 0 \iff 0 \times t + 0 = 0\]
L'égalité est vraie pour tout \(t\) : la droite est entièrement contenue dans le plan.
💡 Trois issues possibles, et il faut savoir les reconnaître :
- une valeur de \(t\) → un point d'intersection unique ;
- aucune solution (\(0 = 5\) par exemple) → la droite est strictement parallèle au plan ;
- tout \(t\) convient → la droite est incluse dans le plan.
⚠️ Ne conclus jamais « pas de solution donc pas d'intersection » sans préciser laquelle des deux situations parallèles tu as : incluse ou strictement parallèle, ce n'est pas la même réponse.
Exemple 3 : orthogonalité et distance
Soit \(A(2\,;0\,;1)\) et le plan \(\mathcal{P} : x + 2y - 2z + 3 = 0\). Le vecteur \(\vec{u}(1\,;2\,;-2)\) est-il normal à \(\mathcal{P}\) ? Calculer la distance de \(A\) à \(\mathcal{P}\).
✅ Voir la correction
Vecteur normal : les coefficients de l'équation sont \(1\), \(2\) et \(-2\) — ce sont exactement les composantes de \(\vec{u}\). Donc oui, \(\vec{u}\) est normal à \(\mathcal{P}\).
Distance — on applique la formule :
\[d(A,\mathcal{P}) = \frac{\left|a x_A + b y_A + c z_A + d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \frac{\left|2 + 0 - 2 + 3\right|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{3}{3} = 1\]
La distance vaut \(1\).
⚠️ La valeur absolue au numérateur n'est pas facultative : une distance est positive. Et le dénominateur est la norme du vecteur normal, pas celle d'un vecteur du plan.
À toi de jouer
- \(A(1\,;0\,;2)\) et \(B(3\,;-1\,;4)\). Donner les composantes de \(\vec{AB}\) et sa norme.
- Les vecteurs \(\vec{u}(1\,;2\,;-1)\) et \(\vec{v}(-2\,;-4\,;2)\) sont-ils colinéaires ?
- Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{w}\) pour \(\vec{u}(1\,;2\,;-1)\) et \(\vec{w}(3\,;-1\,;1)\). Que peut-on en conclure ?
- Donner un vecteur normal au plan d'équation \(4x - 3y + z - 5 = 0\).
- Calculer la distance du point \(O(0\,;0\,;0)\) à ce plan.
✅ Voir les réponses
-
\[\vec{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \left\|\vec{AB}\right\| = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3\]
-
Oui : \(\vec{v} = -2\,\vec{u}\), les composantes sont proportionnelles.
-
\[\vec{u} \cdot \vec{w} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) + (-1) \times 1 = 3 - 2 - 1 = 0\]
Le produit scalaire est nul : les deux vecteurs sont orthogonaux.
-
\(\vec{n}(4\,;-3\,;1)\) — les coefficients se lisent directement dans l'équation.
-
\[d(O,\mathcal{P}) = \frac{|0 - 0 + 0 - 5|}{\sqrt{16 + 9 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{26}} \approx 0{,}98\]
Ce qu'il faut retenir
|