Cours de maths Terminale · Chapitre 2
Suites : limites et raisonnement par récurrence
Récurrence en trois étapes, limites de suites, suites géométriques et théorème de la convergence monotone.
Ce chapitre répond à deux questions : comment démontrer une propriété vraie pour tous les entiers, et où va une suite quand \(n\) devient très grand. Le premier outil est le raisonnement par récurrence — celui qui fait perdre le plus de points au bac, presque toujours pour une raison de rédaction.
I) Le raisonnement par récurrence
L'image est celle d'une échelle : si l'on sait monter sur le premier barreau, et que depuis n'importe quel barreau on sait passer au suivant, alors on peut monter aussi haut qu'on veut.
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Pour démontrer qu'une propriété \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \geqslant n_0\) : ① Initialisation — on vérifie que \(P(n_0)\) est vraie. ② Hérédité — on suppose \(P(n)\) vraie pour un entier \(n \geqslant n_0\) fixé, et on démontre \(P(n+1)\). ③ Conclusion — d'après le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \geqslant n_0\). |
⚠️ L'erreur qui coûte le plus cher : croire qu'on « suppose ce qu'on veut démontrer ». On suppose \(P(n)\) pour un \(n\) donné, et on démontre \(P(n+1)\) — ce n'est pas la même proposition. C'est cette distinction qui est notée.
Exemple 1 : une somme d'entiers
Démontrer que pour tout \(n \geqslant 1\) : \(\;1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).
✅ Voir la correction
Notons \(P(n)\) la propriété \(\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\).
① Initialisation — pour \(n = 1\) : le membre de gauche vaut \(1\), celui de droite \(\dfrac{1 \times 2}{2} = 1\). \(P(1)\) est vraie.
② Hérédité — supposons \(P(n)\) vraie pour un entier \(n \geqslant 1\) fixé. Alors :
\[1 + 2 + \dots + n + (n+1) = \underbrace{\frac{n(n+1)}{2}}_{\text{hypothèse de récurrence}} + (n+1)\]
On met \((n+1)\) en facteur :
\[= (n+1)\left(\frac{n}{2} + 1\right) = (n+1) \times \frac{n+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}\]
C'est exactement la formule au rang \(n+1\) : \(P(n+1)\) est vraie.
③ Conclusion — \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \geqslant 1\).
💡 Le geste technique est toujours le même : faire apparaître l'hypothèse de récurrence, puis factoriser. Et vérifier à la fin qu'on obtient bien la formule de départ où \(n\) est remplacé par \(n+1\) — pas une expression qui lui ressemble.
II) Limite d'une suite
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Convergente \[\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\] les termes s'accumulent autour de \(\ell\) |
Divergente vers \(\pm\infty\), ou sans limite du tout |
💡 Une suite qui n'a pas de limite n'est pas « bizarre » : \((-1)^n\) alterne entre \(-1\) et \(1\) sans jamais se fixer. « Divergente » ne veut donc pas dire « tend vers l'infini ».
III) Le cas des suites géométriques
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Pour \(u_n = q^{\,n}\) : \[-1 < q < 1 \;\Rightarrow\; \lim q^{\,n} = 0 \qquad q > 1 \;\Rightarrow\; \lim q^{\,n} = +\infty\] \[q = 1 \;\Rightarrow\; \text{suite constante égale à } 1 \qquad q \leqslant -1 \;\Rightarrow\; \text{pas de limite}\] |
⚠️ La frontière est en \(|q| = 1\), pas en \(q = 0\). Une raison de \(0{,}99\) fait bien tendre la suite vers \(0\) — lentement, mais sûrement.
Exemple 2 : limite d'une suite géométrique
Déterminer \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\) pour \(u_n = 3 \times \left(\dfrac{2}{5}\right)^{n} + 4\).
✅ Voir la correction
La raison est \(q = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\), et \(-1 < 0{,}4 < 1\), donc :
\[\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^{n} = 0\]
Par somme et produit de limites :
\[\lim_{n \to +\infty} u_n = 3 \times 0 + 4 = 4\]
La suite converge vers \(4\).
💡 Réflexe : dans une expression de ce type, on repère la partie qui tend vers \(0\) et on lit ce qui reste. Ici la suite s'approche de \(4\) par valeurs supérieures, puisque le terme ajouté est toujours positif.
IV) Suites monotones et convergence
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Théorème de la convergence monotone Une suite croissante et majorée converge. Une suite décroissante et minorée converge. |
⚠️ Ce théorème ne donne PAS la limite : il affirme seulement qu'elle existe. C'est un résultat d'existence, et la question suivante de l'exercice demande presque toujours de la calculer autrement — souvent en résolvant \(\ell = f(\ell)\).
💡 Autre piège classique : une suite croissante et majorée par \(10\) ne converge pas forcément vers \(10\). Le majorant n'est pas la limite ; il ne fait que l'empêcher de s'échapper.
Exemple 3 : récurrence et encadrement
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}\). Démontrer que pour tout \(n\), \(\;0 \leqslant u_n \leqslant 2\).
✅ Voir la correction
Notons \(P(n)\) : « \(0 \leqslant u_n \leqslant 2\) ».
① Initialisation — \(u_0 = 1\), et \(0 \leqslant 1 \leqslant 2\). \(P(0)\) est vraie.
② Hérédité — supposons \(0 \leqslant u_n \leqslant 2\) pour un entier \(n\) fixé. En ajoutant \(2\) :
\[2 \leqslant 2 + u_n \leqslant 4\]
La fonction racine carrée est croissante sur \([0\,;+\infty[\), donc elle conserve l'ordre :
\[\sqrt{2} \leqslant \sqrt{2 + u_n} \leqslant \sqrt{4} \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \sqrt{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 2\]
Comme \(\sqrt{2} > 0\), on a bien \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 2\) : \(P(n+1)\) est vraie.
③ Conclusion — pour tout entier \(n\), \(0 \leqslant u_n \leqslant 2\).
💡 La phrase « la fonction racine est croissante donc elle conserve l'ordre » n'est pas décorative : sans elle, rien ne justifie de passer de l'encadrement de \(2 + u_n\) à celui de sa racine. C'est le point de la démonstration.
Exemple 4 : trouver la limite d'une suite récurrente
La suite de l'exemple 3 est croissante (admis) et majorée par \(2\). Déterminer sa limite.
✅ Voir la correction
Croissante et majorée : d'après le théorème de la convergence monotone, \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\).
Comme \(u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}\) et que les deux membres tendent vers leur limite, \(\ell\) vérifie :
\[\ell = \sqrt{2 + \ell}\]
On élève au carré (les deux membres sont positifs) :
\[\ell^2 = 2 + \ell \iff \ell^2 - \ell - 2 = 0\]
Discriminant \(\Delta = 1 + 8 = 9\), donc \(\ell = \dfrac{1 - 3}{2} = -1\) ou \(\ell = \dfrac{1 + 3}{2} = 2\).
Or \(u_n \geqslant 0\) pour tout \(n\), donc \(\ell \geqslant 0\) : la limite est \(\;\boxed{\ell = 2}\).
⚠️ Deux étapes ne se sautent jamais : justifier que la limite existe avant d'écrire \(\ell = f(\ell)\) (sinon on calcule la limite d'une suite qui n'en a peut-être pas), et écarter la solution impossible à l'aide de l'encadrement démontré plus haut.
À toi de jouer
- Démontrer par récurrence que pour tout \(n \geqslant 0\) : \(\;2^{\,n} \geqslant n + 1\).
- Déterminer \(\lim\limits_{n \to +\infty} \left(5 \times 0{,}8^{\,n} - 2\right)\).
- La suite \(u_n = (-1)^n \times \dfrac{1}{n}\) (pour \(n \geqslant 1\)) converge-t-elle ?
- Une suite croissante et majorée par \(7\) converge-t-elle nécessairement vers \(7\) ?
✅ Voir les réponses
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Initialisation : pour \(n = 0\), \(2^0 = 1\) et \(0 + 1 = 1\), l'inégalité est vraie.
Hérédité : supposons \(2^{\,n} \geqslant n+1\). Alors :
\[2^{\,n+1} = 2 \times 2^{\,n} \geqslant 2(n+1) = 2n + 2 = (n+2) + n \geqslant n + 2\]
car \(n \geqslant 0\). C'est l'inégalité au rang \(n+1\).
Conclusion : vraie pour tout \(n \geqslant 0\).
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\(-1 < 0{,}8 < 1\) donc \(0{,}8^{\,n} \to 0\), et la limite vaut \(5 \times 0 - 2 = -2\).
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Oui : \(\left|u_n\right| = \dfrac{1}{n} \to 0\), donc \(u_n \to 0\) (théorème des gendarmes avec \(-\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}\)). Le signe alterne, mais l'amplitude s'écrase.
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Non. Elle converge, mais vers un réel \(\ell \leqslant 7\) qui n'a aucune raison de valoir \(7\). Un majorant n'est pas une limite.
Ce qu'il faut retenir
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