Cours de maths Terminale · Chapitre 9
Exponentielle : limites, dérivées et équations différentielles
Croissances comparées, dérivée de e^u, résolution de y' = ay + b et interprétation de l'état d'équilibre.
La définition et les règles de calcul de l'exponentielle ont été vues en première. Ce chapitre traite ce que la terminale y ajoute : son comportement aux bornes, la dérivée des fonctions composées, et les équations différentielles — celles qui décrivent une grandeur dont la vitesse de variation est proportionnelle à elle-même.
I) Rappels indispensables
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\[\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b} \qquad \mathrm{e}^{-a} = \frac{1}{\mathrm{e}^{a}}\] \[\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n} = \mathrm{e}^{na}\] |
\[\mathrm{e}^{x} > 0 \quad \text{pour TOUT réel } x\] L'exponentielle ne s'annule jamais et ne change jamais de signe. |
⭐ La stricte positivité est l'outil le plus rentable du chapitre : dans une dérivée, un facteur \(\mathrm{e}^{u(x)}\) ne change jamais le signe. Le signe se lit donc sur le reste, et l'étude de variations s'en trouve considérablement simplifiée.
II) Limites
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\[\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{x} = +\infty\] |
\[\lim_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{x} = 0^{+}\] l'axe des abscisses est asymptote |
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Croissances comparées — l'exponentielle l'emporte sur toute puissance : \[\lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{\,n}} = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} x^{\,n}\,\mathrm{e}^{x} = 0\] |
💡 Retiens la phrase, elle donne le résultat sans calcul : « l'exponentielle écrase la puissance, qui écrase le logarithme ». Dans une forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}\) ou \(0 \times \infty\) où figure une exponentielle, c'est elle qui décide.
Exemple 1 : une croissance comparée
Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x} - x^{2}}{\mathrm{e}^{x} + 1}\).
✅ Voir la correction
Numérateur et dénominateur tendent vers \(+\infty\) : forme indéterminée. On factorise par \(\mathrm{e}^{x}\), le terme dominant :
\[\frac{\mathrm{e}^{x} - x^{2}}{\mathrm{e}^{x} + 1} = \frac{\mathrm{e}^{x}\left(1 - \dfrac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}}\right)}{\mathrm{e}^{x}\left(1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}\right)} = \frac{1 - \dfrac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}}}{1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}}\]
Par croissances comparées, \(\dfrac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}} \to 0\) ; et \(\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}} \to 0\). Donc :
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{x} - x^{2}}{\mathrm{e}^{x} + 1} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1\]
💡 La méthode est toujours la même qu'avec les polynômes : factoriser par le terme qui domine. Ici c'est l'exponentielle, jamais la puissance.
III) Dérivée d'une composée
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\[\left(\mathrm{e}^{u}\right)' = u' \,\mathrm{e}^{u}\] |
⚠️ Le facteur \(u'\) s'oublie une fois sur deux. \(\left(\mathrm{e}^{3x}\right)'\) vaut \(3\mathrm{e}^{3x}\), pas \(\mathrm{e}^{3x}\). Vérification rapide : si \(u\) est une constante, la dérivée doit être nulle — c'est bien le cas puisque \(u' = 0\).
Exemple 2 : étude de variations
Étudier les variations de \(f(x) = (x - 1)\,\mathrm{e}^{x}\) sur \(\mathbb{R}\), puis déterminer ses limites aux bornes.
✅ Voir la correction
Dérivée — produit, avec \(u = x-1\) et \(v = \mathrm{e}^{x}\) :
\[f'(x) = 1 \times \mathrm{e}^{x} + (x-1)\,\mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^{x}\big(1 + x - 1\big) = x\,\mathrm{e}^{x}\]
Signe — comme \(\mathrm{e}^{x} > 0\) toujours, \(f'\) a le signe de \(x\) : \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;0]\) puis croît sur \([0\,;+\infty[\). Elle admet un minimum en \(0\), valant \(f(0) = -1\).
Limites :
\[\lim_{x \to +\infty} (x-1)\mathrm{e}^{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} (x-1)\mathrm{e}^{x} = 0^{-}\]
La seconde est une croissance comparée : \(x\,\mathrm{e}^{x} \to 0\) et \(\mathrm{e}^{x} \to 0\). La courbe s'approche de l'axe des abscisses par en dessous.
💡 Le geste décisif est la factorisation par \(\mathrm{e}^{x}\) dans la dérivée : elle isole un facteur toujours positif et laisse un signe évident. Fais-le systématiquement.
IV) Équations et inéquations
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\[\mathrm{e}^{a} = \mathrm{e}^{b} \iff a = b\] |
\[\mathrm{e}^{a} < \mathrm{e}^{b} \iff a < b\] le sens est conservé |
⚠️ Une équation du type \(\mathrm{e}^{x} = -3\) n'a AUCUNE solution, puisque l'exponentielle est strictement positive. On le dit, on ne calcule pas.
V) Équations différentielles
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Les solutions de \(\;y' = a y\;\) sont les fonctions \(\;f(x) = C\,\mathrm{e}^{ax}\), avec \(C \in \mathbb{R}\). Les solutions de \(\;y' = a y + b\;\) (avec \(a \neq 0\)) sont \(\;f(x) = C\,\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}\). |
💡 Sens physique : \(y' = ay\) dit que la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente. C'est le modèle d'une population qui croît, d'un capital qui capitalise, d'un noyau qui se désintègre (\(a < 0\)) ou d'un objet qui refroidit. D'où l'exponentielle partout en sciences.
⚠️ La constante \(C\) ne se devine pas : elle se calcule avec la condition initiale donnée par l'énoncé (souvent \(f(0)\)). Une réponse laissée avec un \(C\) inconnu est incomplète quand une condition est fournie.
Exemple 3 : résoudre avec une condition initiale
Résoudre \(y' = -2y + 6\) avec \(f(0) = 5\).
✅ Voir la correction
On identifie \(a = -2\) et \(b = 6\). Les solutions générales sont :
\[f(x) = C\,\mathrm{e}^{-2x} - \frac{6}{-2} = C\,\mathrm{e}^{-2x} + 3\]
On applique la condition initiale :
\[f(0) = C\,\mathrm{e}^{0} + 3 = C + 3 = 5 \iff C = 2\]
La solution est donc :
\[f(x) = 2\,\mathrm{e}^{-2x} + 3\]
💡 Contrôle en dix secondes : \(f'(x) = -4\mathrm{e}^{-2x}\), et \(-2f(x) + 6 = -4\mathrm{e}^{-2x} - 6 + 6 = -4\mathrm{e}^{-2x}\). Les deux coïncident, et \(f(0) = 5\). Vérifie toujours ta solution en la réinjectant : c'est immédiat et cela rattrape une erreur de signe.
⚠️ Remarque le comportement : quand \(x \to +\infty\), \(f(x) \to 3\). La valeur \(-\frac{b}{a}\) est l'état d'équilibre vers lequel le modèle tend — la température de la pièce, la population maximale. Une question d'interprétation porte presque toujours là-dessus.
À toi de jouer
- Dériver \(f(x) = \mathrm{e}^{-x^{2}}\).
- Résoudre \(\mathrm{e}^{2x-1} = \mathrm{e}^{x+3}\).
- Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^{3}}{\mathrm{e}^{x}}\).
- Résoudre \(y' = 3y\) avec \(f(0) = 4\).
- Étudier le signe de \(g'(x)\) pour \(g(x) = (2 - x)\,\mathrm{e}^{x}\).
✅ Voir les réponses
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\[f'(x) = -2x\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\]
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\[2x - 1 = x + 3 \iff x = 4\]
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Croissance comparée : l'exponentielle l'emporte, donc la limite vaut \(0\).
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\[f(x) = C\,\mathrm{e}^{3x}, \quad f(0) = C = 4 \quad\Longrightarrow\quad f(x) = 4\,\mathrm{e}^{3x}\]
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\[g'(x) = -\mathrm{e}^{x} + (2-x)\mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^{x}(1 - x)\]
Comme \(\mathrm{e}^{x} > 0\), le signe est celui de \(1 - x\) : \(g\) croît sur \(]-\infty\,;1]\), décroît ensuite, avec un maximum en \(1\).
Ce qu'il faut retenir
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