Primitives et intégrales

I) Primitive d'une fonction

Définition : soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On dit que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F\) est dérivable sur \(I\) et si :

\[F'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \text{ de } I\]

Chercher une primitive, c'est donc remonter la dérivation : au lieu de partir de \(F\) pour trouver \(F'\), on part de \(f\) et on cherche qui, en le dérivant, redonne \(f\).

Attention, il n'y en a jamais une seule ! Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \(F + 3\), \(F - 12\) et plus généralement \(F + C\) le sont aussi, puisque la dérivée d'une constante est nulle.

\[\text{Toutes les primitives de } f \text{ sur } I \text{ s'écrivent } F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}\]

💡 C'est exactement pour cette raison qu'on ajoute « \(+\,C\) » à la fin d'un calcul de primitive. L'oublier est l'erreur la plus fréquente.

II) Primitives des fonctions usuelles

Ce tableau se lit de droite à gauche par rapport à celui des dérivées : c'est le même, parcouru dans l'autre sens.

💡 Le signe « moins » de \(-\cos x\) surprend toujours. Vérifie : la dérivée de \(-\cos x\) vaut \(\sin x\). C'est bien ce qu'on voulait.

III) Opérations sur les primitives

Pour \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables et \(k\) un réel :

💡 Le réflexe à prendre : avant de chercher une primitive compliquée, regarde si tu ne vois pas un \(u\) et son \(u'\) cachés dans l'expression.

IV) Intégrale et aire sous la courbe

Définition : soit \(f\) une fonction continue et positive sur \([a\,;b]\). L'intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f\) est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x = a\) et \(x = b\).

\[\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = \text{aire du domaine coloré}\]

Le symbole \(\int\) est un « S » allongé, pour somme : on additionne une infinité de bandes verticales infiniment fines, chacune de hauteur \(f(x)\) et de largeur \(\mathrm{d}x\).

V) Le lien entre les deux : le théorème fondamental

C'est le résultat central du chapitre, celui qui relie l'aire (une question de géométrie) et la primitive (une question de calcul) :

💡 Peu importe la primitive choisie : si tu prends \(F + C\) au lieu de \(F\), la constante s'élimine dans la soustraction \(\big(F(b)+C\big) - \big(F(a)+C\big)\). C'est pourquoi on n'écrit jamais « \(+\,C\) » dans une intégrale entre deux bornes.

VI) Propriétés de l'intégrale

Relation de Chasles — on peut découper l'intervalle, comme on découperait l'aire en deux morceaux :

\[\int_{a}^{c} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{b}^{c} f(x)\,\mathrm{d}x\]

Linéarité — on peut séparer une somme et sortir un facteur constant :

\[\int_{a}^{b} \big(f(x) + g(x)\big)\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x \qquad \int_{a}^{b} k\,f(x)\,\mathrm{d}x = k\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x\]

Inversion des bornes et bornes égales :

\[\int_{b}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \qquad\qquad \int_{a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x = 0\]

VII) Quand la fonction est négative

La définition par l'aire supposait \(f \geqslant 0\). Quand la courbe passe sous l'axe, l'intégrale compte cette portion négativement : on parle d'aire algébrique.

💡 Si on te demande l'aire d'un domaine et que la courbe change de signe, il faut découper avec Chasles et prendre la valeur absolue de chaque morceau. Une aire est toujours positive ; une intégrale, non.

Exemple 1 : calculer une intégrale simple

Calculer \(\displaystyle\int_{1}^{3} 2x\,\mathrm{d}x\).

Exemple 2 : reconnaître une forme \(u'u^{n}\)

Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{1} 3x^{2}\big(x^{3}+1\big)^{4}\,\mathrm{d}x\).

Exemple 3 : une aire, pas une intégrale

Calculer l'aire comprise entre la courbe de \(f(x) = x^{2} - 1\), l'axe des abscisses, et les droites \(x = 0\) et \(x = 2\).

Exemple 4 : valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne de \(f\) sur \([a\,;b]\) est le nombre \(\mu\) tel que le rectangle de hauteur \(\mu\) ait la même aire que le domaine sous la courbe :

\[\mu = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x\]

Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = x^{2}\) sur \([0\,;3]\).

À toi de jouer

1. \(\displaystyle\int_{0}^{2} \big(3x^{2} + 1\big)\,\mathrm{d}x\)
2. \(\displaystyle\int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\)
3. \(\displaystyle\int_{0}^{1} e^{2x}\,\mathrm{d}x\)
4. \(\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x\)

Ce qu'il faut retenir

VIII) Intégration par parties

Certaines primitives (\(x\,e^{x}\), \(\ln x\)…) ne rentrent dans aucun des cas du tableau de la partie III. La méthode d'intégration par parties permet de transformer le calcul en un autre, plus simple.

Démonstration : \((uv)' = u'v + uv'\), donc \(u'v = (uv)' - uv'\). En intégrant entre \(a\) et \(b\) :

\[\int_{a}^{b} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x = \Big[u(x)v(x)\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x\]

Méthode : choisir \(u\) et \(v\) pour que le nouveau calcul \(\displaystyle\int u\,v'\) soit plus simple que le calcul de départ.

• Présence de \(x\,e^{x}\) → poser \(u(x)=x\) (se dérive en \(1\)), \(v'(x)=e^{x}\)
• Présence de \(\ln x\) → poser \(v(x)=\ln x\) (sa dérivée \(\frac{1}{x}\) simplifie bien), \(u'(x)\) = le reste

💡 On dérive \(u\) (il doit devenir plus simple) et on intègre \(v'\) (il doit rester facile à primitiver). Se tromper de rôle complique le calcul au lieu de le simplifier.

Exemple 1 : intégration par parties avec une exponentielle

Calculer \(\displaystyle I = \int_{0}^{1} x\,e^{x}\,\mathrm{d}x\).

Exemple 2 : intégration par parties avec un logarithme

Calculer \(\displaystyle J = \int_{1}^{e} \ln x\,\mathrm{d}x\).

Exemple 3 : quand \(v'\) contient un coefficient

Calculer \(\displaystyle K = \int_{0}^{1} x\,e^{2x}\,\mathrm{d}x\).