Cours de maths Terminale · Chapitre 7
Probabilités conditionnelles et loi binomiale
Probabilités conditionnelles, arbres pondérés, probabilités totales, indépendance et loi binomiale.
Deux outils qui reviennent à chaque bac : l'arbre pondéré, qui organise une situation en plusieurs étapes, et la loi binomiale, qui compte les succès d'une expérience répétée. Presque tout l'exercice de probabilités se joue là.
I) Probabilité conditionnelle
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Pour deux événements \(A\) et \(B\) avec \(P(A) \neq 0\) : \[P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\] Se lit : « probabilité de \(B\) sachant que \(A\) est réalisé ». |
💡 L'idée : on ne regarde plus tout l'univers, mais seulement la partie où \(A\) s'est produit. C'est un changement de point de vue, pas un nouveau calcul — on divise par ce qui reste possible.
⚠️ \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\) ne sont PAS la même chose. « La probabilité d'être malade sachant que le test est positif » n'a rien à voir avec « la probabilité que le test soit positif sachant qu'on est malade ». Les confondre est l'erreur la plus classique du chapitre — et celle qui trompe le plus de monde dans la vie réelle.
II) L'arbre pondéré
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Le long d'un chemin : on multiplie \[P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\] |
Entre plusieurs chemins : on additionne c'est la formule des probabilités totales |
⚠️ Les probabilités inscrites après le premier niveau sont des probabilités CONDITIONNELLES. Sur l'arbre ci-dessus, le \(0{,}8\) n'est pas \(P(B)\) mais \(P_A(B)\). C'est pour cela que la somme des branches partant d'un même nœud vaut toujours \(1\).
III) Formule des probabilités totales
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\[P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(A)\,P_A(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)\] |
💡 Traduction : pour atteindre \(B\), il existe plusieurs chemins ; on les parcourt tous et on additionne. Sur l'arbre, il suffit de repérer toutes les feuilles marquées \(B\).
Exemple 1 : lire un arbre
Avec l'arbre ci-dessus : \(P(A) = 0{,}3\), \(P_A(B) = 0{,}8\) et \(P_{\overline{A}}(B) = 0{,}1\). Calculer \(P(B)\), puis \(P_B(A)\).
✅ Voir la correction
Probabilités totales — deux chemins mènent à \(B\) :
\[P(B) = 0{,}3 \times 0{,}8 + 0{,}7 \times 0{,}1 = 0{,}24 + 0{,}07 = 0{,}31\]
Probabilité inverse — on revient à la définition :
\[P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}24}{0{,}31} \approx 0{,}774\]
💡 Remarque le contraste : \(P_A(B) = 0{,}8\) et \(P_B(A) \approx 0{,}77\) — proches ici par hasard, mais ce sont deux quantités totalement différentes. Change \(P(A)\) en \(0{,}05\) et \(P_B(A)\) tombe à \(0{,}30\) alors que \(P_A(B)\) n'a pas bougé.
IV) Indépendance
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\(A\) et \(B\) sont indépendants si \(\;P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\), ce qui revient à \(\;P_A(B) = P(B)\). |
⚠️ Indépendants n'est pas incompatibles. Deux événements incompatibles (\(A \cap B = \varnothing\)) sont au contraire très dépendants : si l'un arrive, l'autre ne peut pas. C'est un piège de cours fréquent.
V) La loi binomiale
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On répète \(n\) fois, de façon indépendante, une expérience à deux issues (succès de probabilité \(p\), échec de probabilité \(1-p\)). Le nombre de succès \(X\) suit la loi \(\mathcal{B}(n\,;p)\) : \[P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{\,k} (1-p)^{\,n-k}\] \[E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}\] |
💡 Le coefficient \(\binom{n}{k}\) compte de combien de façons les \(k\) succès peuvent se placer parmi les \(n\) répétitions ; \(p^k(1-p)^{n-k}\) est la probabilité d'un chemin particulier. Nombre de chemins × probabilité d'un chemin : la formule se retrouve, elle ne s'apprend pas par cœur.
⚠️ Avant d'écrire « \(X\) suit une loi binomiale », il faut justifier les trois conditions : deux issues, \(n\) répétitions identiques, et indépendance. C'est une phrase attendue par le barème. Un tirage sans remise, par exemple, n'est pas binomial.
Exemple 2 : un calcul binomial
Une usine produit des pièces dont \(4\,\%\) sont défectueuses. On en prélève \(50\) au hasard dans un très grand stock. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement \(3\) pièces défectueuses ? Au moins une ?
✅ Voir la correction
Justification : chaque pièce est défectueuse ou non (deux issues), on répète \(50\) fois à l'identique, et le stock est très grand donc les prélèvements sont assimilés à des tirages indépendants. Donc \(X\), le nombre de pièces défectueuses, suit \(\mathcal{B}(50\,;0{,}04)\).
Exactement 3 :
\[P(X = 3) = \binom{50}{3} \times 0{,}04^{3} \times 0{,}96^{47} \approx 0{,}220\]
Au moins une — on passe par l'événement contraire :
\[P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}96^{50} \approx 1 - 0{,}130 = 0{,}870\]
💡 Réflexe : « au moins un » se calcule presque toujours par le contraire « aucun ». Sans cela il faudrait additionner cinquante termes.
⚠️ La mention « très grand stock » n'est pas décorative : c'est elle qui autorise à parler d'indépendance malgré un tirage sans remise. Sans elle, le modèle binomial ne s'applique pas.
Exemple 3 : espérance et interprétation
Toujours avec \(\mathcal{B}(50\,;0{,}04)\) : combien de pièces défectueuses peut-on s'attendre à trouver en moyenne ?
✅ Voir la correction
\[E(X) = np = 50 \times 0{,}04 = 2\]
Sur un grand nombre de prélèvements de 50 pièces, on trouvera en moyenne 2 pièces défectueuses par prélèvement.
L'écart-type mesure la dispersion autour de cette moyenne :
\[\sigma(X) = \sqrt{50 \times 0{,}04 \times 0{,}96} = \sqrt{1{,}92} \approx 1{,}39\]
💡 L'espérance n'est pas une valeur qu'on observera forcément : ici \(X\) ne prend que des valeurs entières, et « 2 en moyenne » ne veut pas dire « 2 à chaque fois ». Une question d'interprétation tombe très souvent — répondre par une phrase, pas seulement par un nombre.
À toi de jouer
- \(P(A) = 0{,}4\), \(P_A(B) = 0{,}5\) et \(P_{\overline{A}}(B) = 0{,}2\). Calculer \(P(B)\).
- Avec les mêmes données, calculer \(P_B(A)\).
- On lance \(10\) fois une pièce équilibrée. Probabilité d'obtenir exactement \(4\) piles ?
- Avec \(\mathcal{B}(10\,;0{,}5)\), probabilité d'obtenir au moins un pile ?
- Vrai ou faux : « deux événements incompatibles sont indépendants ».
✅ Voir les réponses
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\[P(B) = 0{,}4 \times 0{,}5 + 0{,}6 \times 0{,}2 = 0{,}20 + 0{,}12 = 0{,}32\]
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\[P_B(A) = \frac{0{,}20}{0{,}32} = 0{,}625\]
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\[P(X = 4) = \binom{10}{4} \times 0{,}5^{4} \times 0{,}5^{6} = 210 \times 0{,}5^{10} = \frac{210}{1024} \approx 0{,}205\]
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\[P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}5^{10} = 1 - \frac{1}{1024} \approx 0{,}999\]
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Faux, et c'est même le contraire. Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles et de probabilités non nulles, alors \(P(A \cap B) = 0\) alors que \(P(A) \times P(B) > 0\) : ils sont dépendants.
Ce qu'il faut retenir
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