Cours de maths Terminale · Chapitre 10
Les nombres complexes
Le nombre i, forme algébrique, conjugué et module, plan complexe, forme trigonométrique et équations du second degré.
Pendant des siècles, \(x^2 = -1\) n'avait pas de solution. Les mathématiciens du XVIᵉ siècle ont fini par en inventer une — et cette invention, longtemps jugée « imaginaire », est devenue l'un des outils les plus puissants des mathématiques et de la physique.
I) Le nombre \(i\)
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Il existe un nombre, noté \(i\), tel que : \[i^{\,2} = -1\] Tout nombre complexe s'écrit de façon unique \(\;z = a + ib\;\) avec \(a\) et \(b\) réels. \(a = \mathrm{Re}(z)\) est la partie réelle, \(b = \mathrm{Im}(z)\) la partie imaginaire. |
⚠️ La partie imaginaire est un nombre RÉEL. Pour \(z = 3 - 5i\), on a \(\mathrm{Im}(z) = -5\), et non \(-5i\). C'est l'erreur d'écriture la plus fréquente au début du chapitre.
💡 « Unique » est le mot important : \(a + ib = a' + ib' \iff a = a'\) et \(b = b'\). Une seule égalité complexe équivaut donc à deux égalités réelles — c'est ce qui permet de résoudre des systèmes.
II) Calculer avec les complexes
On calcule comme avec des réels, en remplaçant \(i^2\) par \(-1\) chaque fois qu'il apparaît.
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Conjugué \[\overline{z} = a - ib\] \[z\,\overline{z} = a^2 + b^2 \quad (\text{réel positif})\] |
Module \[|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\] c'est la distance de \(z\) à l'origine |
⭐ Le conjugué sert surtout à diviser : pour rendre un dénominateur réel, on multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur. Exactement comme on « rend rationnel » un dénominateur avec une racine carrée.
Exemple 1 : une division
Écrire \(z = \dfrac{3 + i}{2 - i}\) sous la forme \(a + ib\).
✅ Voir la correction
On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur, \(2 + i\) :
\[z = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\]
Dénominateur — il devient réel :
\[(2-i)(2+i) = 2^2 + 1^2 = 5\]
Numérateur — on développe et on remplace \(i^2\) par \(-1\) :
\[(3+i)(2+i) = 6 + 3i + 2i + i^2 = 6 + 5i - 1 = 5 + 5i\]
D'où :
\[z = \frac{5 + 5i}{5} = 1 + i\]
💡 Le dénominateur \((a-ib)(a+ib) = a^2 + b^2\) est une identité remarquable déguisée : c'est \(a^2 - (ib)^2 = a^2 + b^2\). Elle donne toujours un réel positif — d'où l'intérêt.
III) Représentation dans le plan
À tout complexe \(z = a + ib\) on associe le point \(M(a\,;b)\) : c'est son image, et \(z\) est l'affixe de \(M\). Le plan devient ainsi le « plan complexe ».
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Forme trigonométrique — avec \(r = |z|\) et \(\theta\) un argument de \(z\) : \[z = r\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) \qquad \text{où} \qquad \cos\theta = \frac{a}{r} \;\text{ et }\; \sin\theta = \frac{b}{r}\] |
⚠️ Le module est une longueur, donc toujours positif ; l'argument, lui, est défini à \(2\pi\) près. Et \(z = 0\) n'a pas d'argument — sa direction n'existe pas.
Exemple 2 : passer en forme trigonométrique
Écrire \(z = 1 + i\sqrt{3}\) sous forme trigonométrique.
✅ Voir la correction
Module :
\[|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\]
Argument — on divise les deux coordonnées par le module :
\[\cos\theta = \frac{1}{2} \qquad \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Ces deux valeurs correspondent à \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\). Donc :
\[z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)\]
⚠️ Il faut les deux lignes trigonométriques pour conclure. Le seul cosinus ne suffit pas : \(\cos\theta = \frac{1}{2}\) admet aussi \(\theta = -\frac{\pi}{3}\), qui a un sinus négatif. Le signe du sinus tranche entre le haut et le bas du plan.
IV) Équations du second degré
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Pour \(az^2 + bz + c = 0\) avec \(\Delta < 0\), il existe deux solutions complexes conjuguées : \[z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} \qquad z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}\] |
💡 C'est le grand apport du chapitre : toute équation du second degré a désormais des solutions. Le « pas de solution » de la première devient « deux solutions non réelles ». Noter le \(\sqrt{-\Delta}\) : comme \(\Delta < 0\), le nombre \(-\Delta\) est positif et sa racine existe.
Exemple 3 : résoudre dans les complexes
Résoudre \(z^2 - 2z + 5 = 0\).
✅ Voir la correction
\[\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16\]
Le discriminant est négatif : deux solutions complexes conjuguées, avec \(\sqrt{-\Delta} = \sqrt{16} = 4\) :
\[z_1 = \frac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i \qquad z_2 = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i\]
Vérification avec \(z_2\) :
\[(1+2i)^2 - 2(1+2i) + 5 = (1 + 4i - 4) - 2 - 4i + 5 = (-3 + 4i) + 3 - 4i = 0 \;\checkmark\]
💡 Deux contrôles gratuits : les solutions sont conjuguées l'une de l'autre, et leur somme vaut \(-\frac{b}{a} = 2\) — c'est bien le cas ici. Si l'une des deux propriétés manque, il y a une erreur.
V) Pourquoi ça sert
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Multiplier par un complexe de module \(r\) et d'argument \(\theta\) revient à agrandir de \(r\) et tourner de \(\theta\). Les complexes décrivent donc les rotations et les similitudes — et, en physique, tout ce qui oscille : courant alternatif, ondes, traitement du signal. |
💡 C'est pour cela qu'un objet inventé pour résoudre une équation « impossible » se retrouve dans les circuits électriques et l'imagerie médicale. Les « imaginaires » décrivent le monde réel mieux que les réels seuls.
À toi de jouer
- Donner la partie réelle et la partie imaginaire de \(z = -4 + 7i\).
- Calculer \((2 + 3i)(1 - i)\).
- Calculer le module de \(z = 3 - 4i\).
- Écrire \(\dfrac{1}{1 + i}\) sous la forme \(a + ib\).
- Résoudre \(z^2 + z + 1 = 0\).
✅ Voir les réponses
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\(\mathrm{Re}(z) = -4\) et \(\mathrm{Im}(z) = 7\) (un nombre réel, sans le \(i\)).
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\[(2+3i)(1-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i\]
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\[|z| = \sqrt{9 + 16} = 5\]
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\[\frac{1}{1+i} = \frac{1-i}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\]
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\[\Delta = 1 - 4 = -3 \qquad z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}\]
Ce qu'il faut retenir
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