Cours de maths Terminale · Chapitre 5
Dérivation et convexité
Dérivées usuelles et composées, convexité et dérivée seconde, points d'inflexion, tangentes et inégalités.
La dérivée dit si une courbe monte ou descend. La dérivée seconde dit si elle est creuse ou bombée. Ce sont deux informations différentes, et les confondre est l'erreur centrale du chapitre.
I) Les dérivées à connaître
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Fonctions usuelles \[\left(x^{n}\right)' = n x^{\,n-1} \qquad \left(\sqrt{x}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\] \[\left(\mathrm{e}^{x}\right)' = \mathrm{e}^{x} \qquad \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}\] |
Opérations \[(uv)' = u'v + uv'\] \[\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}\] |
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Composées — celles qui reviennent tout le temps : \[\left(\mathrm{e}^{u}\right)' = u' \,\mathrm{e}^{u} \qquad \left(\ln u\right)' = \frac{u'}{u} \qquad \left(u^{n}\right)' = n\,u'\,u^{\,n-1}\] |
⚠️ Le piège du quotient : c'est \(u'v - uv'\), avec un moins, et dans cet ordre. Inverser les deux termes change le signe de toute l'étude de variations qui suit.
Exemple 1 : un produit et un quotient
Dériver \(f(x) = x\,\mathrm{e}^{x}\) puis \(g(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}\) sur son ensemble de définition.
✅ Voir la correction
Pour \(f\), avec \(u = x\) et \(v = \mathrm{e}^{x}\) :
\[f'(x) = 1 \times \mathrm{e}^{x} + x \times \mathrm{e}^{x} = (1 + x)\,\mathrm{e}^{x}\]
Pour \(g\), avec \(u = 2x-1\) et \(v = x+3\) (donc \(x \neq -3\)) :
\[g'(x) = \frac{2(x+3) - (2x-1) \times 1}{(x+3)^{2}} = \frac{2x + 6 - 2x + 1}{(x+3)^{2}} = \frac{7}{(x+3)^{2}}\]
💡 Le réflexe qui évite les erreurs de signe : développer le numérateur entièrement avant de simplifier. Ici \(-(2x-1)\) donne \(-2x+1\) — c'est le passage où l'on perd le plus de points. Et le résultat est instructif : \(g'\) est toujours strictement positive, donc \(g\) croît sur chacun de ses deux intervalles.
II) Convexité
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Convexe — « creuse vers le haut » la courbe est au-dessus de ses tangentes \[f'' \geqslant 0\] |
Concave — « bombée » la courbe est en dessous de ses tangentes \[f'' \leqslant 0\] |
💡 Moyen mnémotechnique : convexe = con-cave à l'envers… plus simplement, une fonction convexe a la forme d'un bol qui retient l'eau ; une concave, celle d'un chapeau. Et \(x^2\), la parabole vers le haut, est l'exemple type de convexe.
⚠️ Convexe ne veut pas dire croissante. La parabole \(x^2\) est convexe partout, alors qu'elle descend puis remonte. Les variations se lisent sur \(f'\), la convexité sur \(f''\) — deux lectures indépendantes.
III) Point d'inflexion
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Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité. C'est donc un point où \(f''\) s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE. |
⚠️ « \(f''(a) = 0\) » ne suffit pas. Pour \(f(x) = x^4\), on a \(f''(0) = 0\) et pourtant la fonction reste convexe de part et d'autre : il n'y a pas de point d'inflexion en \(0\). C'est le changement de signe qui compte, pas l'annulation.
💡 En un point d'inflexion, la tangente traverse la courbe au lieu de rester d'un seul côté. C'est la traduction géométrique du changement de convexité, et une bonne façon de vérifier son résultat sur un dessin.
Exemple 2 : étudier la convexité
Étudier la convexité de \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) sur \(\mathbb{R}\) et préciser ses points d'inflexion.
✅ Voir la correction
On dérive deux fois :
\[f'(x) = 3x^2 - 6x \qquad f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)\]
Le signe de \(f''\) est celui de \(x - 1\) :
- si \(x < 1\) : \(f''(x) < 0\), donc \(f\) est concave sur \(]-\infty\,;1]\) ;
- si \(x > 1\) : \(f''(x) > 0\), donc \(f\) est convexe sur \([1\,;+\infty[\).
\(f''\) s'annule en \(1\) en changeant de signe : la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse \(1\), d'ordonnée \(f(1) = 1 - 3 + 2 = 0\).
Le point d'inflexion est donc \(I(1\,;0)\).
💡 Une cubique a toujours exactement un point d'inflexion, puisque sa dérivée seconde est une fonction affine — elle change forcément de signe une fois. C'est un bon contrôle de vraisemblance.
IV) La tangente
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Équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) : \[y = f'(a)(x - a) + f(a)\] |
💡 Deux nombres suffisent : \(f(a)\) (où l'on est) et \(f'(a)\) (la pente). Si tu confonds les deux, la droite obtenue ne touche même pas la courbe — c'est un contrôle immédiat.
Exemple 3 : tangente et position
Soit \(f(x) = \mathrm{e}^{x}\). Déterminer la tangente en \(0\), puis la position de la courbe par rapport à elle.
✅ Voir la correction
On a \(f(0) = 1\) et \(f'(x) = \mathrm{e}^{x}\) donc \(f'(0) = 1\). La tangente est :
\[y = 1 \times (x - 0) + 1 = x + 1\]
Pour la position : \(f''(x) = \mathrm{e}^{x} > 0\) pour tout réel, donc \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). Une fonction convexe est toujours au-dessus de ses tangentes, donc :
\[\mathrm{e}^{x} \geqslant x + 1 \qquad \text{pour tout réel } x\]
💡 Cette inégalité est un classique du bac, et la convexité en donne la démonstration en une ligne — sans étudier la fonction \(x \mapsto \mathrm{e}^{x} - x - 1\). Retiens le raisonnement : convexe \(\Rightarrow\) au-dessus des tangentes transforme une étude de fonction en une phrase.
À toi de jouer
- Dériver \(f(x) = (3x + 1)^{4}\).
- Dériver \(g(x) = \mathrm{e}^{-2x}\).
- Étudier la convexité de \(h(x) = x^4 - 6x^2\) et donner ses points d'inflexion.
- Donner l'équation de la tangente à \(x \mapsto \ln x\) au point d'abscisse \(1\).
- Vrai ou faux : « si \(f''(2) = 0\) alors la courbe admet un point d'inflexion en \(2\) ».
✅ Voir les réponses
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\[f'(x) = 4 \times 3 \times (3x+1)^{3} = 12(3x+1)^{3}\]
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\[g'(x) = -2\,\mathrm{e}^{-2x}\]
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\[h'(x) = 4x^3 - 12x \qquad h''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x-1)(x+1)\]
\(h''\) est positive sur \(]-\infty\,;-1]\) et sur \([1\,;+\infty[\) (convexe), négative sur \([-1\,;1]\) (concave). Elle change de signe en \(-1\) et en \(1\) : deux points d'inflexion, d'abscisses \(-1\) et \(1\), d'ordonnée \(h(\pm 1) = 1 - 6 = -5\).
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\(f(1) = \ln 1 = 0\) et \(f'(1) = \dfrac{1}{1} = 1\), donc \(\;y = x - 1\).
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Faux. Il faut de plus que \(f''\) change de signe en \(2\). Contre-exemple : \(x \mapsto (x-2)^4\), dont la dérivée seconde s'annule en \(2\) sans changer de signe.
Ce qu'il faut retenir
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