Cours de maths 3e · Chapitre 6
Arithmétique : nombres premiers et PGCD
Diviseurs, nombres premiers, décomposition, algorithme d'Euclide et fractions irréductibles.
I) Diviseurs et multiples
On dit que \(b\) est un diviseur de \(a\) lorsque la division de \(a\) par \(b\) tombe juste, c'est-à-dire que le reste est nul. On dit alors aussi que \(a\) est un multiple de \(b\).
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\[42 = 6 \times 7\] Donc \(6\) et \(7\) sont des diviseurs de \(42\). |
Et \(42\) est un multiple de \(6\) et de \(7\). Les deux phrases disent la même chose, vue des deux côtés. |
Les critères de divisibilité font gagner beaucoup de temps :
| Un nombre est divisible par | si |
|---|---|
| 2 | il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 |
| 3 | la somme de ses chiffres est divisible par 3 |
| 4 | ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 |
| 5 | il se termine par 0 ou 5 |
| 9 | la somme de ses chiffres est divisible par 9 |
| 10 | il se termine par 0 |
💡 Exemple : \(531\) — la somme de ses chiffres est \(5+3+1=9\), divisible par 9. Donc \(531\) l'est aussi, sans poser la division.
II) Les nombres premiers
Un nombre entier est premier lorsqu'il a exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même.
\[2 \quad 3 \quad 5 \quad 7 \quad 11 \quad 13 \quad 17 \quad 19 \quad 23 \quad 29 \quad 31 \quad \dots\]
⚠️ \(1\) n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur, lui-même. Et \(2\) est le seul nombre premier pair — tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2, donc ont au moins trois diviseurs.
💡 Pour vérifier qu'un nombre est premier, il suffit de tester les diviseurs premiers jusqu'à sa racine carrée. Pour \(97\) : on teste 2, 3, 5, 7 — aucun ne marche, et \(11^2 = 121 > 97\). Donc \(97\) est premier.
III) La décomposition en produit de facteurs premiers
Tout nombre entier supérieur à 1 s'écrit d'une seule façon comme un produit de nombres premiers. C'est sa « carte d'identité ».
La méthode : on divise par le plus petit nombre premier possible, encore et encore, jusqu'à obtenir 1.
\[360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5\]
Exemple 1 : décomposer un nombre
Décomposer \(84\) en produit de facteurs premiers.
✅ Voir la correction
On divise successivement par les plus petits nombres premiers :
\[84 \div 2 = 42 \qquad 42 \div 2 = 21 \qquad 21 \div 3 = 7 \qquad 7 \div 7 = 1\]
\[84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7\]
💡 Vérifie toujours en remultipliant : \(4 \times 3 \times 7 = 84\) ✔
IV) Le PGCD
Le PGCD de deux nombres est leur plus grand diviseur commun : le plus grand nombre qui les divise tous les deux.
Deux méthodes sont au programme.
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Par la décomposition On décompose les deux nombres, puis on garde les facteurs communs, chacun avec son plus petit exposant. |
Par l'algorithme d'Euclide On divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, jusqu'à un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD. |
Exemple 2 : PGCD par l'algorithme d'Euclide
Calculer le PGCD de \(252\) et \(198\).
✅ Voir la correction
\[252 = 198 \times 1 + \color{#d33}{54}\]
\[198 = 54 \times 3 + \color{#d33}{36}\]
\[54 = 36 \times 1 + \color{#d33}{18}\]
\[36 = 18 \times 2 + \color{#5aa000}{0}\]
Le dernier reste non nul est \(18\), donc :
\[\text{PGCD}(252\,;198) = 18\]
💡 À chaque ligne, le diviseur devient le nouveau dividende et le reste le nouveau diviseur. On s'arrête dès que le reste vaut 0 — et c'est le reste précédent qu'on garde, pas 0.
V) Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles
Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut \(1\) : ils n'ont aucun diviseur commun sauf 1.
C'est exactement ce qui rend une fraction irréductible : elle ne peut plus être simplifiée.
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Pour rendre une fraction irréductible : on calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis on divise les deux par ce PGCD. En une seule étape. |
Exemple 3 : simplifier une fraction
Rendre irréductible la fraction \(\dfrac{252}{198}\).
✅ Voir la correction
On a calculé plus haut : \(\text{PGCD}(252\,;198) = 18\).
\[\frac{252}{198} = \frac{252 \div 18}{198 \div 18} = \frac{14}{11}\]
\(14\) et \(11\) sont premiers entre eux : la fraction est irréductible.
💡 Simplifier par petits pas (par 2, puis par 3, puis encore par 3…) donne le même résultat mais prend cinq fois plus de temps et multiplie les risques d'erreur.
Exemple 4 : un problème de brevet
Un fleuriste dispose de 84 roses et 126 tulipes. Il veut composer des bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs. Quel est le nombre maximal de bouquets ? Que contient chacun ?
✅ Voir la correction
Le nombre de bouquets doit diviser 84 et 126, et on le veut maximal : c'est le PGCD.
\[126 = 84 \times 1 + 42 \qquad 84 = 42 \times 2 + 0\]
Le PGCD vaut \(42\) : il peut faire 42 bouquets.
\[84 \div 42 = 2 \text{ roses} \qquad 126 \div 42 = 3 \text{ tulipes}\]
Chaque bouquet contient 2 roses et 3 tulipes.
💡 Reconnais l'énoncé : « le plus grand nombre de paquets identiques en utilisant tout » signifie toujours PGCD.
À toi de jouer
- Décomposer \(180\) en produit de facteurs premiers.
- \(91\) est-il premier ?
- Calculer \(\text{PGCD}(144\,;60)\).
- Rendre \(\dfrac{144}{60}\) irréductible.
✅ Voir les réponses
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\[180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5\]
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Non : \(91 = 7 \times 13\). Il a quatre diviseurs (1, 7, 13, 91), donc il n'est pas premier.
💡 C'est un piège fréquent : 91 « a l'air » premier, mais il faut tester jusqu'à sa racine carrée (environ 9,5), donc jusqu'à 7 inclus.
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\[144 = 60 \times 2 + 24 \qquad 60 = 24 \times 2 + 12 \qquad 24 = 12 \times 2 + 0\]
\[\text{PGCD}(144\,;60) = 12\]
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\[\frac{144}{60} = \frac{144 \div 12}{60 \div 12} = \frac{12}{5}\]
Ce qu'il faut retenir
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