Cours de maths 3e · Chapitre 1
Théorème de Thalès
Reconnaître une configuration de Thalès, calculer une longueur, et démontrer que deux droites sont parallèles avec la réciproque.
I) La configuration de Thalès
On rencontre Thalès dès qu'on a deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles. Il faut savoir la reconnaître : c'est la moitié du travail.
Ici, les droites \((BM)\) et \((CN)\) se coupent en \(A\), et les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles. On dit que les points sont en configuration de Thalès.
💡 Le sommet commun (ici \(A\)) s'appelle le point d'intersection. Repère-le en premier : c'est lui qui organise toutes les écritures.
II) Le théorème
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Théorème de Thalès Si \(M \in (AB)\), \(N \in (AC)\) \[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\] |
Comment le lire Petit triangle en haut, \[\frac{\text{petit}}{\text{grand}} = \frac{\text{petit}}{\text{grand}} = \frac{\text{petit}}{\text{grand}}\] |
⚠️ L'erreur la plus fréquente est de mélanger l'ordre des lettres. Une méthode sûre : écris d'abord les trois numérateurs (les longueurs du petit triangle, toutes issues de \(A\)), puis les trois dénominateurs (celles du grand). Chaque fraction compare deux longueurs qui se correspondent.
💡 Retiens l'ordre : \(A\) apparaît en premier dans chaque longueur du numérateur, et aussi dans chaque longueur du dénominateur. Si tu écris \(\frac{AM}{BA}\), quelque chose ne va pas.
III) La configuration « papillon »
Le théorème s'applique aussi quand les deux points sont de part et d'autre du point d'intersection. La figure ressemble alors à un nœud papillon.
Si \((BC) \parallel (MN)\), on écrit exactement la même chose :
\[\frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{MN}\]
💡 Rien de nouveau à apprendre : c'est la même règle. Seule la figure change d'allure.
IV) Calculer une longueur
C'est l'usage le plus courant : on connaît plusieurs longueurs, on en cherche une. La méthode tient en trois étapes.
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1. Vérifier qu'on est bien en configuration de Thalès (droites sécantes + parallèles). |
Exemple 1 : trouver une longueur
Dans la configuration ci-dessous, \((MN) \parallel (BC)\), \(AM = 3\) cm, \(AB = 7{,}5\) cm et \(AC = 10\) cm. Calculer \(AN\).
✅ Voir la correction
Les droites \((BM)\) et \((CN)\) se coupent en \(A\), et \((MN) \parallel (BC)\) : le théorème de Thalès s'applique.
\[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \frac{3}{7{,}5} = \frac{AN}{10}\]
Produit en croix :
\[AN = \frac{3 \times 10}{7{,}5} = \frac{30}{7{,}5} = 4\]
Donc \(AN = 4\) cm.
💡 Vérifie toujours la vraisemblance : \(AM\) est plus petit que \(AB\), donc \(AN\) doit être plus petit que \(AC\). \(4 < 10\) ✔
Exemple 2 : la longueur du troisième rapport
Même figure, avec \(AM = 4\) cm, \(AB = 6\) cm et \(BC = 9\) cm. Calculer \(MN\).
✅ Voir la correction
Cette fois on utilise le rapport qui contient \(MN\) :
\[\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \qquad \text{soit} \qquad \frac{4}{6} = \frac{MN}{9}\]
\[MN = \frac{4 \times 9}{6} = \frac{36}{6} = 6\]
Donc \(MN = 6\) cm.
⚠️ Attention : \(MN\) et \(BC\) sont les deux segments parallèles, ils vont ensemble. Ne les mélange pas avec les longueurs issues de \(A\).
V) La réciproque : démontrer que deux droites sont parallèles
Jusqu'ici, on savait que les droites étaient parallèles et on calculait. La réciproque fait l'inverse : on calcule des rapports pour prouver le parallélisme.
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Réciproque du théorème de Thalès Si les points \(A\), \(M\), \(B\) d'une part et \(A\), \(N\), \(C\) d'autre part sont alignés dans le même ordre, \[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\] alors les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles. |
⚠️ La condition d'alignement « dans le même ordre » n'est pas un détail. Sans elle, la conclusion est fausse : les rapports peuvent être égaux alors que les droites se croisent.
Exemple 3 : les droites sont-elles parallèles ?
\(A\), \(M\), \(B\) sont alignés dans cet ordre, ainsi que \(A\), \(N\), \(C\). On a \(AM = 2{,}4\) cm, \(AB = 6\) cm, \(AN = 3{,}2\) cm et \(AC = 8\) cm. Les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont-elles parallèles ?
✅ Voir la correction
On calcule les deux rapports séparément, puis on compare.
\[\frac{AM}{AB} = \frac{2{,}4}{6} = 0{,}4 \qquad\qquad \frac{AN}{AC} = \frac{3{,}2}{8} = 0{,}4\]
Les deux rapports sont égaux, et les points sont alignés dans le même ordre.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles.
💡 Rédige toujours en trois temps : je calcule le premier rapport, je calcule le second, je conclus. Écrire directement « les rapports sont égaux donc c'est parallèle » sans les calculer ne rapporte aucun point.
VI) La contraposée : démontrer que ce n'est PAS parallèle
Si les deux rapports sont différents, alors les droites ne sont pas parallèles. C'est la même idée, retournée.
\[\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC} \quad \Longrightarrow \quad (MN) \not\parallel (BC)\]
Exemple 4 : un cas où ça ne marche pas
\(AM = 3\) cm, \(AB = 5\) cm, \(AN = 4\) cm, \(AC = 7\) cm, points alignés dans le même ordre. Que peut-on dire de \((MN)\) et \((BC)\) ?
✅ Voir la correction
\[\frac{AM}{AB} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \qquad\qquad \frac{AN}{AC} = \frac{4}{7} \approx 0{,}571\]
Les deux rapports sont différents, donc \((MN)\) et \((BC)\) ne sont pas parallèles.
💡 Compare des fractions exactes plutôt que des valeurs arrondies quand c'est possible : \(\frac{3}{5} = \frac{21}{35}\) et \(\frac{4}{7} = \frac{20}{35}\). On voit tout de suite qu'elles diffèrent.
À toi de jouer
Dans chaque cas, \((MN) \parallel (BC)\) et les points sont en configuration de Thalès.
- \(AM = 5\) cm, \(AB = 8\) cm, \(AC = 12\) cm. Calculer \(AN\).
- \(AM = 2\) cm, \(AB = 6\) cm, \(BC = 15\) cm. Calculer \(MN\).
- \(A\), \(M\), \(B\) et \(A\), \(N\), \(C\) alignés dans le même ordre, \(AM = 1{,}8\) ; \(AB = 4{,}5\) ; \(AN = 2{,}4\) ; \(AC = 6\). Les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont-elles parallèles ?
✅ Voir les réponses
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\[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \;\Longrightarrow\; \frac{5}{8} = \frac{AN}{12} \;\Longrightarrow\; AN = \frac{5 \times 12}{8} = 7{,}5 \text{ cm}\]
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\[\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \;\Longrightarrow\; \frac{2}{6} = \frac{MN}{15} \;\Longrightarrow\; MN = \frac{2 \times 15}{6} = 5 \text{ cm}\]
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\[\frac{AM}{AB} = \frac{1{,}8}{4{,}5} = 0{,}4 \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{2{,}4}{6} = 0{,}4\]
Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites sont parallèles.
Ce qu'il faut retenir
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