Cours de maths 3e · Chapitre 11
Les transformations du plan
Symétries, translation, rotation et homothétie : reconnaître chaque transformation et savoir ce qu'elle conserve.
I) De quoi parle-t-on ?
Une transformation déplace une figure selon une règle précise. La figure obtenue s'appelle l'image de la figure de départ.
Au collège, on en étudie quatre. Trois d'entre elles conservent les longueurs — la figure garde exactement la même taille — et la dernière, l'homothétie, agrandit ou réduit.
II) La symétrie axiale
C'est le reflet dans un miroir. Chaque point est envoyé de l'autre côté d'une droite \((d)\), appelée axe de symétrie, à égale distance.
💡 La symétrie axiale retourne la figure : ce qui était à gauche se retrouve à droite. C'est la seule des quatre à le faire.
III) La symétrie centrale
C'est un demi-tour autour d'un point \(O\). Chaque point \(M\) est envoyé sur \(M'\) tel que \(O\) soit le milieu de \([MM']\).
💡 La symétrie centrale équivaut à une rotation d'un demi-tour, soit 180°. La figure est « à l'envers » mais pas retournée comme dans un miroir.
IV) La translation
C'est un glissement : toute la figure se déplace dans une même direction, d'une même distance, sans tourner ni se retourner.
💡 Une translation se décrit par une flèche : une direction, un sens, une longueur. Tous les points parcourent exactement le même trajet.
V) La rotation
C'est une rotation autour d'un point \(O\), d'un certain angle et dans un sens précisé — horaire ou antihoraire.
⚠️ Une rotation n'est complètement définie qu'avec trois informations : le centre, l'angle et le sens. Oublier le sens dans une rédaction coûte des points.
VI) L'homothétie
C'est la seule qui change la taille. À partir d'un centre \(O\) et d'un rapport \(k\), chaque point s'éloigne (ou se rapproche) de \(O\) dans le rapport \(k\).
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\(k > 1\) → agrandissement \(0 < k < 1\) → réduction |
\(k\) négatif → l'image passe de l'autre côté du centre, et se retrouve retournée. |
💡 Une homothétie de rapport \(-1\) est exactement une symétrie centrale. Les transformations ne sont pas des mondes séparés.
VII) Ce que chaque transformation conserve
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⭐ Ce tableau répond à lui seul à la plupart des questions. Les quatre premières transformations donnent une figure superposable à l'originale. L'homothétie donne une figure de même forme mais de taille différente : les angles ne changent jamais.
Exemple 1 : reconnaître une transformation
Une figure et son image ont la même taille, mais l'image est « retournée » comme dans un miroir. De quelle transformation s'agit-il ?
✅ Voir la correction
C'est une symétrie axiale. C'est la seule qui retourne la figure — la translation la glisse, la rotation la fait tourner, la symétrie centrale la met à l'envers mais sans effet miroir.
💡 Le test : si en faisant glisser ou tourner le calque on peut superposer les deux figures, ce n'est pas une symétrie axiale. Si on doit retourner le calque, c'en est une.
Exemple 2 : effet d'une homothétie
Un triangle d'aire 12 cm² subit une homothétie de rapport 3. Quelle est l'aire de son image ? Et si le rapport était \(\frac{1}{2}\) ?
✅ Voir la correction
Les aires sont multipliées par \(k^2\) :
\[k = 3 \;\Longrightarrow\; 12 \times 3^2 = 12 \times 9 = 108 \text{ cm}^2\]
\[k = \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; 12 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 12 \times \frac{1}{4} = 3 \text{ cm}^2\]
💡 Même règle que pour les agrandissements : longueurs \(\times k\), aires \(\times k^2\), volumes \(\times k^3\).
À toi de jouer
- Quelle transformation fait glisser une figure sans la tourner ?
- Une figure a un angle de 40°. Après une homothétie de rapport 5, combien mesure cet angle ?
- Un carré de côté 4 cm subit une homothétie de rapport 2,5. Quel est le côté de son image ? Et son aire ?
- Quelle transformation correspond à une homothétie de rapport \(-1\) ?
✅ Voir les réponses
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La translation.
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Toujours 40° : une homothétie conserve les angles, quelle que soit sa valeur.
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\[\text{côté} = 4 \times 2{,}5 = 10 \text{ cm} \qquad \text{aire} = 10 \times 10 = 100 \text{ cm}^2\]
On pouvait aussi partir de l'aire de départ (\(16\) cm²) et multiplier par \(k^2 = 6{,}25\) : \(16 \times 6{,}25 = 100\) ✔
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Une symétrie centrale de centre \(O\).
Ce qu'il faut retenir
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