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Cours de maths 3e · Chapitre 4

Statistiques : moyenne, médiane, étendue

Calculer une moyenne (simple ou pondérée), une médiane et une étendue, et savoir ce que chacune raconte.

I) De quoi parle-t-on ?

Faire des statistiques, c'est résumer une série de nombres par quelques valeurs qui la décrivent. Trois d'entre elles reviennent tout le temps : la moyenne, la médiane et l'étendue.

On travaillera sur cette série — les notes d'un élève au cours du trimestre :

\[8 \quad 12 \quad 15 \quad 9 \quad 12 \quad 18 \quad 11\]

II) La moyenne

Définition

\[\text{moyenne} = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}\]

Sur notre série

\[\frac{8+12+15+9+12+18+11}{7} = \frac{85}{7} \approx 12{,}1\]

💡 La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : une seule note très basse la tire vers le bas. C'est sa force et sa faiblesse.

III) La moyenne pondérée

Quand certaines valeurs comptent plus que d'autres — un devoir sur table coefficient 3, une interrogation coefficient 1 — on utilise la moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif ou son coefficient.

\[\text{moyenne} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots}\]

Exemple 1 : une moyenne avec coefficients

Trois notes : 14 (coefficient 1), 8 (coefficient 3), 16 (coefficient 2). Calculer la moyenne.

✅ Voir la correction

\[\frac{14 \times 1 + 8 \times 3 + 16 \times 2}{1 + 3 + 2} = \frac{14 + 24 + 32}{6} = \frac{70}{6} \approx 11{,}7\]

⚠️ L'erreur classique : diviser par 3 (le nombre de notes) au lieu de 6 (la somme des coefficients). On divise toujours par la somme des coefficients.

IV) La médiane

La médiane est la valeur qui partage la série en deux moitiés : autant de valeurs en dessous qu'au-dessus.

La méthode, en deux temps :

1. Ranger les valeurs dans l'ordre croissant — c'est l'étape qu'on oublie.

2. Si l'effectif est impair, la médiane est la valeur du milieu.

Si l'effectif est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales.

Sur notre série, on range d'abord :

\[8 \quad 9 \quad 11 \quad \color{#d33}{12} \quad 12 \quad 15 \quad 18\]

Il y a 7 valeurs (nombre impair), la 4ᵉ est au milieu : la médiane vaut 12.

8911 12 121518 médiane 3 valeurs 3 valeurs

💡 Contrairement à la moyenne, la médiane ne bouge pas si la note la plus haute passe de 18 à 20. C'est pourquoi on l'utilise pour les salaires ou les loyers : quelques valeurs très grandes ne la déforment pas.

Exemple 2 : médiane d'un effectif pair

Calculer la médiane de la série : \(7 \quad 15 \quad 10 \quad 6 \quad 13 \quad 9\).

✅ Voir la correction

On range dans l'ordre croissant :

\[6 \quad 7 \quad \color{#d33}{9} \quad \color{#d33}{10} \quad 13 \quad 15\]

Il y a 6 valeurs (nombre pair) : les deux valeurs centrales sont la 3ᵉ et la 4ᵉ, c'est-à-dire 9 et 10.

\[\text{médiane} = \frac{9 + 10}{2} = 9{,}5\]

💡 La médiane n'appartient pas forcément à la série : ici, aucun élève n'a eu 9,5.

V) L'étendue

L'étendue mesure la dispersion : c'est l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur.

\[\text{étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}\]

Sur notre série : \(18 - 8 = 10\).

💡 Deux classes peuvent avoir la même moyenne avec des étendues très différentes : l'une homogène, l'autre avec des écarts énormes. C'est toute la différence entre « la classe va bien » et « la moyenne va bien ».

Exemple 3 : comparer deux séries

Deux classes ont passé le même contrôle.
Classe A : \(10 \quad 11 \quad 12 \quad 12 \quad 13 \quad 14\)
Classe B : \(2 \quad 5 \quad 12 \quad 13 \quad 18 \quad 20\)
Comparer les deux classes.

✅ Voir la correction

Classe A : moyenne \(= \dfrac{72}{6} = 12\) · médiane \(= \dfrac{12+12}{2} = 12\) · étendue \(= 14 - 10 = 4\)

Classe B : moyenne \(= \dfrac{70}{6} \approx 11{,}7\) · médiane \(= \dfrac{12+13}{2} = 12{,}5\) · étendue \(= 20 - 2 = 18\)

Les deux classes ont des moyennes presque identiques. Mais l'étendue de la classe B est plus de quatre fois supérieure : ses résultats sont très dispersés, avec des élèves en grande difficulté et d'autres excellents, tandis que la classe A est homogène.

💡 C'est exactement ce que la moyenne seule ne dit pas. Dans un exercice de brevet, on attend cette remarque.

À toi de jouer

Série : \(14 \quad 8 \quad 11 \quad 8 \quad 16 \quad 13 \quad 9 \quad 15\)

  1. Calculer la moyenne (arrondie au dixième).
  2. Calculer la médiane.
  3. Calculer l'étendue.
  4. Une note supplémentaire de 20 est ajoutée. Laquelle des trois valeurs change le plus ?
✅ Voir les réponses

  1. \[\frac{14+8+11+8+16+13+9+15}{8} = \frac{94}{8} = 11{,}75 \approx 11{,}8\]

  2. Série rangée : \(8 \quad 8 \quad 9 \quad \color{#d33}{11} \quad \color{#d33}{13} \quad 14 \quad 15 \quad 16\). Huit valeurs, donc moyenne des 4ᵉ et 5ᵉ :

    \[\text{médiane} = \frac{11 + 13}{2} = 12\]

  3. \[16 - 8 = 8\]

  4. Avec la note de 20 : moyenne \(= \dfrac{114}{9} \approx 12{,}7\) (+0,9) · médiane \(= 13\) (+1) · étendue \(= 20-8 = 12\) (+4).

    C'est l'étendue qui change le plus — logique, puisqu'elle ne regarde que les extrêmes.

Ce qu'il faut retenir

  • Moyenne : somme des valeurs ÷ nombre de valeurs. Avec des coefficients, on divise par leur somme.
  • Médiane : ranger d'abord, toujours. Effectif impair → valeur du milieu ; pair → moyenne des deux valeurs centrales.
  • Étendue : maximum − minimum. Elle mesure la dispersion, pas le niveau.
  • La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane non.
  • Deux séries de même moyenne peuvent être très différentes : c'est l'étendue qui le révèle.
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