Cours de maths 3e · Chapitre 5
Les probabilités
Vocabulaire, calcul d'une probabilité, événement contraire et expériences à deux épreuves avec un arbre.
I) Le vocabulaire
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat : lancer un dé, tirer une carte, faire tourner une roue.
- Les résultats possibles s'appellent les issues. Pour un dé à six faces : \(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\).
- Un événement est une phrase qui peut être vraie ou fausse selon l'issue : « obtenir un nombre pair ».
- La probabilité d'un événement est un nombre entre \(0\) et \(1\) qui mesure sa chance de se produire.
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\(P = 0\) |
\(P = 0{,}5\) |
\(P = 1\) |
⚠️ Une probabilité n'est jamais supérieure à 1 ni négative. Si tu trouves \(1{,}4\) ou \(-0{,}2\), c'est qu'il y a une erreur — vérifie avant de rendre.
II) Calculer une probabilité
Quand toutes les issues ont la même chance de se produire — on dit qu'il y a équiprobabilité —, le calcul est simple :
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\[P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\] |
Avec un dé : « obtenir un nombre pair » 3 cas favorables (\(2,4,6\)) sur 6 possibles \[P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\] |
💡 « Favorables » ne veut pas dire « souhaitables » : ce sont simplement les issues qui réalisent l'événement.
Exemple 1 : un tirage dans une urne
Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules bleues, indiscernables au toucher. On en tire une au hasard.
a) Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ? b) Une boule qui n'est pas rouge ?
✅ Voir la correction
Il y a \(5 + 3 + 2 = 10\) boules en tout.
a) 3 boules vertes sur 10 :
\[P(\text{verte}) = \frac{3}{10} = 0{,}3\]
b) Les boules non rouges sont les vertes et les bleues, soit \(3 + 2 = 5\) :
\[P(\text{non rouge}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0{,}5\]
💡 On pouvait aussi passer par l'événement contraire : \(P(\text{rouge}) = \frac{5}{10}\), donc \(P(\text{non rouge}) = 1 - \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\).
III) L'événement contraire
L'événement contraire de \(A\), noté \(\overline{A}\), est « \(A\) ne se produit pas ». Les deux se partagent toute la certitude :
\[P(A) + P(\overline{A}) = 1 \qquad\text{donc}\qquad P(\overline{A}) = 1 - P(A)\]
💡 C'est souvent un raccourci précieux. Calculer « au moins un » est pénible ; calculer « aucun » puis soustraire l'est beaucoup moins.
IV) Deux épreuves : l'arbre
Quand l'expérience se déroule en deux étapes — lancer deux fois une pièce, tirer deux boules — on représente la situation par un arbre.
Pour deux lancers d'une pièce, l'arbre montre 4 issues, toutes également probables : chacune a une probabilité de \(\dfrac{1}{4}\).
⚠️ Le piège classique : croire qu'obtenir « un pile et un face » a la même probabilité qu'obtenir « deux piles ». Faux — il y a deux chemins qui donnent un pile et un face, \((P;F)\) et \((F;P)\), donc \(P = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\), contre \(\dfrac{1}{4}\) pour deux piles.
Exemple 2 : deux lancers de dé
On lance deux fois un dé à six faces et on s'intéresse à la somme obtenue. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 7 ?
✅ Voir la correction
Il y a \(6 \times 6 = 36\) issues possibles, toutes équiprobables.
Les couples dont la somme vaut 7 sont :
\[(1;6) \quad (2;5) \quad (3;4) \quad (4;3) \quad (5;2) \quad (6;1)\]
Cela fait 6 cas favorables :
\[P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\]
💡 Remarque : 7 est la somme la plus probable avec deux dés. C'est pour cela qu'elle joue un rôle particulier dans beaucoup de jeux.
Exemple 3 : utiliser l'événement contraire
On lance deux fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un pile ?
✅ Voir la correction
« Au moins un pile » est le contraire de « aucun pile », c'est-à-dire « deux faces ».
\[P(\text{deux faces}) = \frac{1}{4}\]
\[P(\text{au moins un pile}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\]
💡 On peut vérifier sur l'arbre : \((P;P)\), \((P;F)\) et \((F;P)\) conviennent, soit 3 issues sur 4. ✔
À toi de jouer
Un sac contient 4 jetons numérotés 1, 2, 3 et 4. On en tire un au hasard.
- Quelle est la probabilité de tirer un nombre pair ?
- Quelle est la probabilité de tirer un nombre supérieur ou égal à 3 ?
- Quelle est la probabilité de ne pas tirer le 1 ?
- On tire un jeton, on le remet, puis on en tire un second. Combien y a-t-il d'issues possibles ?
✅ Voir les réponses
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Les nombres pairs sont 2 et 4, soit 2 cas favorables sur 4 :
\[P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]
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Il s'agit de 3 et 4, soit 2 cas sur 4 :
\[P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]
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\[P(\text{ne pas tirer le 1}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\]
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Chaque tirage a 4 résultats possibles, et le jeton est remis :
\[4 \times 4 = 16 \text{ issues}\]
Ce qu'il faut retenir
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