Cours de maths 3e · Chapitre 8
Équations et inéquations
Résoudre une équation, une équation produit, une inéquation (et le piège du signe), et mettre un problème en équation.
I) Ce qu'on cherche
Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs de \(x\) qui rendent l'égalité vraie. Ces valeurs s'appellent les solutions.
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Les deux gestes autorisés On peut ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés. On peut multiplier ou diviser les deux côtés par un même nombre non nul. |
💡 L'image de la balance : tant qu'on fait la même chose des deux côtés, elle reste en équilibre. Dès qu'on ne traite qu'un seul côté, tout est faux.
II) La méthode
On regroupe les \(x\) d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise.
Exemple 1 : une équation du premier degré
Résoudre \(5x - 7 = 2x + 8\).
✅ Voir la correction
On enlève \(2x\) des deux côtés :
\[5x - 7 - 2x = 2x + 8 - 2x \;\Longrightarrow\; 3x - 7 = 8\]
On ajoute \(7\) des deux côtés :
\[3x = 15\]
On divise par \(3\) :
\[x = 5\]
Vérification — indispensable et rapide : à gauche \(5 \times 5 - 7 = 18\), à droite \(2 \times 5 + 8 = 18\). ✔
Exemple 2 : avec des parenthèses
Résoudre \(3(x-2) = 4 - (x+6)\).
✅ Voir la correction
On développe les deux membres, en surveillant le signe moins :
\[3x - 6 = 4 - x - 6 \;\Longrightarrow\; 3x - 6 = -x - 2\]
On ajoute \(x\) puis \(6\) des deux côtés :
\[4x = 4 \;\Longrightarrow\; x = 1\]
Vérification : à gauche \(3(1-2) = -3\), à droite \(4 - 7 = -3\) ✔
III) L'équation produit
Quand l'équation se présente sous la forme d'un produit égal à zéro, on utilise la règle du produit nul :
\[A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0\]
Exemple 3 : produit nul
Résoudre \((2x-6)(x+4) = 0\).
✅ Voir la correction
\[2x - 6 = 0 \quad\text{ou}\quad x + 4 = 0\]
\[x = 3 \quad\text{ou}\quad x = -4\]
L'équation a deux solutions : \(3\) et \(-4\).
⚠️ Ne t'arrête pas à la première : une équation produit a autant de solutions que de facteurs.
IV) Les inéquations
Une inéquation compare deux expressions avec \(<\), \(>\), \(\leqslant\) ou \(\geqslant\). On la résout comme une équation, avec une règle en plus — et c'est celle qui coûte des points.
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⚠️ Quand on multiplie ou divise par un nombre NÉGATIF, le sens de l'inégalité s'inverse. \[-2x < 6 \;\Longrightarrow\; x > -3\] |
💡 Vérifie sur un exemple simple : \(2 < 5\) est vrai. Multiplie par \(-1\) : \(-2\) et \(-5\). Or \(-2 > -5\). Le sens s'est bien inversé.
Exemple 4 : une inéquation
Résoudre \(4 - 3x \geqslant 13\) et représenter les solutions.
✅ Voir la correction
\[4 - 3x \geqslant 13 \;\Longrightarrow\; -3x \geqslant 9\]
On divise par \(-3\), donc on inverse le sens :
\[x \leqslant -3\]
Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à \(-3\).
💡 Le point est plein car \(-3\) fait partie des solutions (\(\leqslant\)). Avec un \(<\) strict, on le laisserait vide.
V) Mettre un problème en équation
C'est l'exercice type du brevet. La démarche est toujours la même :
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1. Choisir l'inconnue et l'écrire : « Soit \(x\) le nombre de… » |
Exemple 5 : un problème
Dans un parking, il y a des voitures et des motos, soit 30 véhicules au total et 100 roues. Combien y a-t-il de voitures ?
✅ Voir la correction
1. Soit \(x\) le nombre de voitures. Il y a alors \(30 - x\) motos.
2. Une voiture a 4 roues, une moto en a 2 :
\[4x + 2(30 - x) = 100\]
3. On résout :
\[4x + 60 - 2x = 100 \;\Longrightarrow\; 2x = 40 \;\Longrightarrow\; x = 20\]
4. Il y a 20 voitures (et 10 motos).
Vérification : \(20 \times 4 + 10 \times 2 = 80 + 20 = 100\) roues ✔
💡 La quatrième étape rapporte des points : une équation résolue sans phrase de conclusion est un exercice à moitié rendu.
À toi de jouer
- Résoudre \(7x + 4 = 3x - 12\).
- Résoudre \(2(x+3) = 5x - 9\).
- Résoudre \((x-7)(3x+9) = 0\).
- Résoudre \(5 - 2x > 11\).
✅ Voir les réponses
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\[7x + 4 = 3x - 12 \;\Longrightarrow\; 4x = -16 \;\Longrightarrow\; x = -4\]
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\[2x + 6 = 5x - 9 \;\Longrightarrow\; -3x = -15 \;\Longrightarrow\; x = 5\]
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\[x - 7 = 0 \ \text{ou} \ 3x + 9 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 7 \ \text{ou} \ x = -3\]
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\[5 - 2x > 11 \;\Longrightarrow\; -2x > 6 \;\Longrightarrow\; x < -3\]
(division par \(-2\) : le sens s'inverse)
Ce qu'il faut retenir
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