Cours de maths 3e · Chapitre 10
Volumes, agrandissement et réduction
Les formules de volumes, les conversions, et l'effet d'un agrandissement sur les longueurs, les aires et les volumes.
I) Les volumes usuels
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Les « droits » : base × hauteur Pavé droit : \(\;V = L \times \ell \times h\) Cube d'arête \(a\) : \(\;V = a^3\) Cylindre : \(\;V = \pi r^2 \times h\) Prisme : \(\;V = \mathcal{B} \times h\) |
Les « pointus » : le tiers Pyramide : \(\;V = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{3}\) Cône : \(\;V = \dfrac{\pi r^2 \times h}{3}\) Et la boule : \(\;V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\) |
💡 Une seule chose à retenir plutôt que six formules : tout ce qui se termine en pointe — pyramide, cône — vaut le tiers du solide droit correspondant. Une pyramide occupe un tiers du pavé qui l'entoure.
Exemple 1 : un cylindre
Une citerne cylindrique a un rayon de 1,2 m et une hauteur de 3 m. Quel est son volume, arrondi au dixième ? Combien de litres contient-elle ?
✅ Voir la correction
\[V = \pi \times 1{,}2^2 \times 3 = \pi \times 1{,}44 \times 3 = 4{,}32\pi \approx 13{,}6 \text{ m}^3\]
Comme \(1 \text{ m}^3 = 1000\) L :
\[13{,}6 \times 1000 = 13\,600 \text{ litres}\]
💡 Retiens les deux conversions qui reviennent tout le temps : \(1 \text{ m}^3 = 1000\) L et \(1 \text{ dm}^3 = 1\) L.
II) Les conversions de volumes
Pour les longueurs, on multiplie par 10 à chaque unité. Pour les aires, par 100. Pour les volumes, par 1000 — parce qu'il y a trois dimensions.
\[1 \text{ m} = 10 \text{ dm} \qquad 1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 \qquad 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3\]
💡 Le raisonnement plutôt que le tableau : un cube de 1 m d'arête, c'est \(10 \times 10 \times 10 = 1000\) cubes de 1 dm.
III) Agrandissement et réduction
Quand on agrandit une figure ou un solide dans un rapport \(k\) — toutes les longueurs multipliées par \(k\) — les autres grandeurs ne suivent pas de la même façon. C'est le cœur du chapitre, et la question tombe presque à chaque brevet.
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Dans un agrandissement de rapport \(k\) : les longueurs sont multipliées par \(\;k\) les aires sont multipliées par \(\;k^2\) les volumes sont multipliés par \(\;k^3\) |
⚠️ L'erreur classique : croire qu'en doublant les dimensions, on double le volume. On le multiplie par \(2^3 = 8\).
Exemple 2 : un agrandissement
Une maquette de bateau a un volume de 250 cm³. On construit une réplique deux fois et demie plus grande (\(k = 2{,}5\)). Quel est le volume de la réplique ?
✅ Voir la correction
Les volumes sont multipliés par \(k^3\) :
\[k^3 = 2{,}5^3 = 15{,}625\]
\[V = 250 \times 15{,}625 = 3906{,}25 \text{ cm}^3\]
💡 Un agrandissement de « seulement » 2,5 multiplie le volume par plus de 15. C'est ce qui explique qu'un animal deux fois plus grand pèse huit fois plus lourd.
Exemple 3 : dans l'autre sens
Une réduction divise l'aire d'une figure par 9. Quel est le rapport de réduction ? Par combien le volume est-il divisé ?
✅ Voir la correction
L'aire est multipliée par \(k^2\), et ici elle est divisée par 9 :
\[k^2 = \frac{1}{9} \;\Longrightarrow\; k = \frac{1}{3}\]
Le rapport de réduction est \(\dfrac{1}{3}\). Pour le volume :
\[k^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}\]
Le volume est divisé par 27.
Exemple 4 : une section de cône
Un cône de hauteur 12 cm et de volume 400 cm³ est coupé à mi-hauteur par un plan parallèle à sa base. Quel est le volume du petit cône obtenu ?
✅ Voir la correction
Le petit cône est une réduction du grand, de rapport :
\[k = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]
Donc son volume vaut :
\[400 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 400 \times \frac{1}{8} = 50 \text{ cm}^3\]
💡 Couper à mi-hauteur ne coupe pas le volume en deux : le petit cône n'en représente qu'un huitième. C'est exactement le piège de l'exercice.
À toi de jouer
- Calculer le volume d'un pavé de 5 cm × 3 cm × 8 cm.
- Calculer le volume d'une boule de rayon 3 cm (valeur exacte, puis arrondie au dixième).
- Convertir 2,5 m³ en litres.
- Un solide de volume 40 cm³ est agrandi dans le rapport 3. Quel est son nouveau volume ?
✅ Voir les réponses
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\[V = 5 \times 3 \times 8 = 120 \text{ cm}^3\]
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\[V = \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = \frac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \approx 113{,}1 \text{ cm}^3\]
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\[2{,}5 \text{ m}^3 = 2{,}5 \times 1000 = 2500 \text{ L}\]
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\[40 \times 3^3 = 40 \times 27 = 1080 \text{ cm}^3\]
Ce qu'il faut retenir
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