Cours de maths 3e · Chapitre 2
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Cosinus, sinus, tangente : choisir la bonne formule, calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle.
I) Le vocabulaire : tout part de l'angle choisi
Dans un triangle rectangle, les trois côtés portent un nom — mais deux de ces noms changent selon l'angle qu'on regarde. C'est là que tout se joue.
- L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit : c'est le plus long, et il ne change jamais.
- Le côté adjacent à l'angle \(x\) est celui qui touche cet angle (sans être l'hypoténuse).
- Le côté opposé à l'angle \(x\) est celui qui lui fait face.
💡 Avant tout calcul, place-toi « dans » l'angle et demande-toi : lequel je touche, lequel je vois en face ? Si tu changes d'angle, adjacent et opposé s'échangent.
II) Les trois formules
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À connaître par cœur \[\cos x = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\] \[\sin x = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\] \[\tan x = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\] |
Le moyen de s'en souvenir CAH — Cos = Adjacent / Hypoténuse SOH — Sin = Opposé / Hypoténuse TOA — Tan = Opposé / Adjacent |
Avec les noms des sommets de la figure ci-dessus :
\[\cos \widehat{A} = \frac{AB}{AC} \qquad \sin \widehat{A} = \frac{BC}{AC} \qquad \tan \widehat{A} = \frac{BC}{AB}\]
💡 Le cosinus et le sinus sont toujours des nombres compris entre 0 et 1, puisqu'on divise un côté par l'hypoténuse, qui est le plus long. Si tu trouves \(\cos x = 1{,}4\), tu t'es trompé de formule.
III) Quelle formule choisir ?
La question à se poser est toujours la même : quelles longueurs sont en jeu ? Celle que je connais, celle que je cherche.
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Exemple 1 : calculer une longueur
Dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(B\), on a \(\widehat{A} = 35°\) et \(AC = 12\) cm. Calculer \(AB\), arrondi au dixième.
✅ Voir la correction
Par rapport à l'angle \(\widehat{A}\) : \(AB\) est le côté adjacent, \(AC\) est l'hypoténuse. Adjacent + hypoténuse, donc cosinus.
\[\cos \widehat{A} = \frac{AB}{AC} \qquad \text{donc} \qquad \cos 35° = \frac{AB}{12}\]
\[AB = 12 \times \cos 35° \approx 12 \times 0{,}819 \approx 9{,}8 \text{ cm}\]
💡 Vérifie : \(AB\) doit être plus court que l'hypoténuse \(AC = 12\). \(9{,}8 < 12\) ✔
Exemple 2 : calculer un angle
Dans un triangle \(DEF\) rectangle en \(E\), on a \(DE = 5\) cm et \(DF = 8\) cm. Calculer l'angle \(\widehat{D}\), arrondi au degré.
✅ Voir la correction
Par rapport à \(\widehat{D}\) : \(DE\) est le côté adjacent et \(DF\) l'hypoténuse (elle est opposée à l'angle droit en \(E\)). On utilise donc le cosinus.
\[\cos \widehat{D} = \frac{DE}{DF} = \frac{5}{8} = 0{,}625\]
Pour remonter à l'angle, on utilise la touche \(\cos^{-1}\) de la calculatrice (parfois notée acos ou Arccos) :
\[\widehat{D} = \cos^{-1}(0{,}625) \approx 51°\]
⚠️ Vérifie que ta calculatrice est bien en mode degrés (DEG ou D à l'écran). En mode radians, tu trouverais 0,90 et le résultat serait faux.
Exemple 3 : quand c'est la tangente
Un arbre projette une ombre de 6 m. Les rayons du soleil font un angle de \(52°\) avec le sol. Quelle est la hauteur de l'arbre ?
✅ Voir la correction
La hauteur est le côté opposé à l'angle de \(52°\), l'ombre est le côté adjacent. Opposé + adjacent, donc tangente.
\[\tan 52° = \frac{\text{hauteur}}{6}\]
\[\text{hauteur} = 6 \times \tan 52° \approx 6 \times 1{,}280 \approx 7{,}7 \text{ m}\]
L'arbre mesure environ 7,7 m.
💡 Contrairement au cosinus et au sinus, la tangente peut dépasser 1 — ici 1,28. C'est normal : ce n'est pas une division par l'hypoténuse.
À toi de jouer
\(ABC\) est rectangle en \(B\). Arrondis au dixième ou au degré.
- \(\widehat{A} = 40°\) et \(AC = 10\) cm. Calculer \(BC\).
- \(AB = 6\) cm et \(BC = 8\) cm. Calculer \(\widehat{A}\).
- \(\widehat{A} = 28°\) et \(AB = 7\) cm. Calculer \(BC\).
✅ Voir les réponses
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\(BC\) est opposé à \(\widehat{A}\), \(AC\) est l'hypoténuse → sinus.
\[\sin 40° = \frac{BC}{10} \;\Longrightarrow\; BC = 10 \times \sin 40° \approx 6{,}4 \text{ cm}\]
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\(AB\) est adjacent, \(BC\) est opposé → tangente.
\[\tan \widehat{A} = \frac{8}{6} \approx 1{,}333 \;\Longrightarrow\; \widehat{A} = \tan^{-1}(1{,}333) \approx 53°\]
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\(AB\) est adjacent, \(BC\) est opposé → tangente.
\[\tan 28° = \frac{BC}{7} \;\Longrightarrow\; BC = 7 \times \tan 28° \approx 3{,}7 \text{ cm}\]
Ce qu'il faut retenir
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