Cours de maths 3e · Chapitre 9
Les fonctions — notions générales
Image, antécédent, tableau de valeurs et lecture graphique : les bases indispensables avant les fonctions affines.
I) Qu'est-ce qu'une fonction ?
Une fonction est un procédé qui, à un nombre, en associe un seul autre. On peut la voir comme une machine : on entre un nombre, il en sort un.
On note \(f(x)\) le nombre obtenu, et on lit « \(f\) de \(x\) ».
⚠️ \(f(x)\) n'est pas une multiplication. \(f(3)\) ne veut pas dire \(f \times 3\) : c'est « l'image de 3 par la fonction \(f\) ».
II) Image et antécédent
|
L'image On connaît \(x\), on cherche le résultat. On calcule. \[f(x) = 2x + 1 \;\Rightarrow\; f(4) = 9\] L'image de 4 est 9. |
L'antécédent On connaît le résultat, on cherche \(x\). On résout une équation. \[2x + 1 = 15 \;\Rightarrow\; x = 7\] Un antécédent de 15 est 7. |
💡 Moyen de ne plus confondre : l'image arrive après (c'est le résultat), l'antécédent vient avant (comme « antérieur »).
⚠️ Un nombre a toujours une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents — ou aucun. C'est la différence essentielle.
III) Le tableau de valeurs
Un tableau de valeurs résume plusieurs images d'un coup. Avec \(f(x) = x^2 - 3\) :
| \(x\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 1 | −2 | −3 | −2 | 1 | 6 |
On y lit directement : l'image de \(2\) est \(1\) ; et \(1\) a deux antécédents, \(-2\) et \(2\).
Exemple 1 : calculer des images
Soit \(f(x) = 3x - 5\). Calculer \(f(2)\), \(f(0)\) et \(f(-4)\).
✅ Voir la correction
\[f(2) = 3 \times 2 - 5 = 1\]
\[f(0) = 3 \times 0 - 5 = -5\]
\[f(-4) = 3 \times (-4) - 5 = -12 - 5 = -17\]
💡 Garde les parenthèses autour des nombres négatifs jusqu'au bout du calcul : c'est là que se produisent la plupart des erreurs de signe.
Exemple 2 : chercher un antécédent
Toujours avec \(f(x) = 3x - 5\) : quel est l'antécédent de \(7\) ?
✅ Voir la correction
On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 7\), donc on résout :
\[3x - 5 = 7 \;\Longrightarrow\; 3x = 12 \;\Longrightarrow\; x = 4\]
L'antécédent de 7 est 4.
Vérification : \(f(4) = 3 \times 4 - 5 = 7\) ✔
IV) Lire un graphique
Sur une courbe, on lit les images et les antécédents en se déplaçant horizontalement et verticalement.
|
Lire une image |
Lire un antécédent |
💡 Pour un antécédent, la droite horizontale peut couper la courbe plusieurs fois : il faut alors donner tous les antécédents, pas seulement le premier trouvé.
Exemple 3 : lecture graphique
Sur le graphique ci-dessus, la courbe passe par les points \((0\,;-1)\), \((2\,;3)\) et \((5\,;0)\). Donner \(f(0)\), \(f(2)\), et un antécédent de \(0\).
✅ Voir la correction
\(f(0) = -1\) · \(f(2) = 3\) · un antécédent de \(0\) est \(5\).
💡 Les antécédents de \(0\) sont les abscisses des points où la courbe croise l'axe horizontal. Cette question revient très souvent.
V) Les fonctions particulières
|
Fonction linéaire \[f(x) = ax\] Représentée par une droite passant par l'origine. C'est le modèle de la proportionnalité. |
Fonction affine \[f(x) = ax + b\] Représentée par une droite quelconque. |
💡 Toutes les autres fonctions — carré, inverse… — ne donnent pas une droite. Si un exercice dit « la représentation est une droite », c'est une information : la fonction est affine.
À toi de jouer
Soit \(f(x) = -2x + 7\).
- Calculer \(f(3)\).
- Calculer \(f(-1)\).
- Déterminer l'antécédent de \(1\).
- La représentation graphique de \(f\) est-elle une droite ? Passe-t-elle par l'origine ?
✅ Voir les réponses
-
\[f(3) = -2 \times 3 + 7 = 1\]
-
\[f(-1) = -2 \times (-1) + 7 = 2 + 7 = 9\]
-
\[-2x + 7 = 1 \;\Longrightarrow\; -2x = -6 \;\Longrightarrow\; x = 3\]
(cohérent avec la question 1 ✔)
-
Oui, c'est une droite car \(f\) est affine. Elle ne passe pas par l'origine, car \(b = 7 \neq 0\) : elle coupe l'axe vertical en 7.
Ce qu'il faut retenir
|