Cours de maths 3e · Chapitre 7
Développement, factorisation et identités remarquables
Développer, factoriser, les trois identités remarquables et la règle du produit nul.
I) Développer ou factoriser : deux chemins opposés
|
Développer Transformer un produit en somme. \[3(x+2) \;\longrightarrow\; 3x + 6\] On supprime les parenthèses. |
Factoriser Transformer une somme en produit. \[3x + 6 \;\longrightarrow\; 3(x+2)\] On fait apparaître des parenthèses. |
💡 Retiens le sens de lecture : développer, c'est aller vers la droite ; factoriser, c'est revenir vers la gauche. Ce sont les deux sens d'une même égalité.
II) La distributivité
La règle de base, celle sur laquelle tout repose :
\[k(a+b) = ka + kb \qquad\qquad (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\]
Pour le double produit, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : quatre produits, jamais trois.
⚠️ Attention aux signes. \(-2(x-5) = -2x + 10\) : le moins devant la parenthèse change tous les signes à l'intérieur, pas seulement le premier.
III) Les trois identités remarquables
|
À connaître par cœur \[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] \[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\] \[(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\] |
Sur des nombres \[(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\] \[(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16\] \[(x+5)(x-5) = x^2 - 25\] |
⚠️ L'erreur la plus coûteuse du brevet : écrire \((a+b)^2 = a^2 + b^2\). C'est faux, il manque le double produit \(2ab\). Vérifie avec des nombres : \((2+3)^2 = 25\), alors que \(2^2 + 3^2 = 13\).
💡 Le double produit vaut \(2 \times a \times b\) : ne l'oublie pas, et n'oublie pas non plus le facteur 2.
Exemple 1 : développer
Développer et réduire \(A = (2x+3)^2 - (x-1)(x+4)\).
✅ Voir la correction
On traite les deux morceaux séparément :
\[(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9\]
\[(x-1)(x+4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4\]
On assemble, en faisant attention au signe moins devant la seconde parenthèse :
\[A = 4x^2 + 12x + 9 - (x^2 + 3x - 4) = 4x^2 + 12x + 9 - x^2 - 3x + 4\]
\[A = 3x^2 + 9x + 13\]
💡 Vérifie avec \(x = 1\) : d'un côté \((5)^2 - (0)(5) = 25\), de l'autre \(3 + 9 + 13 = 25\) ✔ Cette vérification prend vingt secondes et détecte presque toutes les erreurs de signe.
IV) Factoriser : trois situations
|
1. Un facteur commun visible : \(6x^2 + 9x = 3x(2x+3)\) |
💡 Devant une différence de deux carrés — deux termes séparés par un moins, chacun étant un carré — pense immédiatement à la troisième identité. C'est le cas le plus fréquent au brevet.
Exemple 2 : factoriser une différence de carrés
Factoriser \(B = 9x^2 - 16\).
✅ Voir la correction
On reconnaît deux carrés : \(9x^2 = (3x)^2\) et \(16 = 4^2\).
\[B = (3x)^2 - 4^2 = (3x+4)(3x-4)\]
💡 Le réflexe : dès que tu vois « carré moins carré », tu peux factoriser. En revanche \(9x^2 + 16\) ne se factorise pas — une somme de carrés ne rentre dans aucune identité.
Exemple 3 : le facteur commun caché
Factoriser \(C = (2x-1)(x+5) - (2x-1)(3x-2)\).
✅ Voir la correction
Le facteur commun est la parenthèse \((2x-1)\) :
\[C = (2x-1)\big[(x+5) - (3x-2)\big]\]
On réduit le crochet, en distribuant le signe moins :
\[C = (2x-1)(x+5-3x+2) = (2x-1)(-2x+7)\]
⚠️ Le piège est le signe moins devant \((3x-2)\) : il change les deux termes. Écrire \(x+5-3x-2\) serait faux.
V) À quoi ça sert : résoudre une équation produit
Factoriser n'est pas un exercice gratuit : c'est ce qui permet de résoudre des équations qu'on ne saurait pas traiter autrement.
|
Règle du produit nul — un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : \[A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0\] |
Exemple 4 : résoudre grâce à la factorisation
Résoudre \(x^2 - 25 = 0\).
✅ Voir la correction
On factorise d'abord :
\[x^2 - 25 = 0 \;\Longleftrightarrow\; (x+5)(x-5) = 0\]
Un produit est nul si l'un des facteurs l'est :
\[x + 5 = 0 \quad\text{ou}\quad x - 5 = 0\]
\[x = -5 \quad\text{ou}\quad x = 5\]
Les solutions sont \(-5\) et \(5\).
💡 N'oublie jamais la solution négative : une équation de ce type en a presque toujours deux.
À toi de jouer
- Développer \((x+6)^2\).
- Développer \((3x-2)(3x+2)\).
- Factoriser \(x^2 - 81\).
- Factoriser \(5x^2 + 15x\).
- Résoudre \((x-3)(2x+8) = 0\).
✅ Voir les réponses
-
\[(x+6)^2 = x^2 + 12x + 36\]
-
\[(3x-2)(3x+2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4\]
-
\[x^2 - 81 = x^2 - 9^2 = (x+9)(x-9)\]
-
\[5x^2 + 15x = 5x(x+3)\]
-
\[x - 3 = 0 \ \text{ou} \ 2x + 8 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 3 \ \text{ou} \ x = -4\]
Ce qu'il faut retenir
|