Cours de maths 3e · Chapitre 3
Les fonctions affines
Images, antécédents, représentation graphique, et comment retrouver une fonction affine à partir de deux points.
I) Définition
Une fonction affine est une fonction qui s'écrit sous la forme :
\[f(x) = ax + b\]
où \(a\) et \(b\) sont deux nombres fixés. On les appelle les coefficients de la fonction.
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Ce sont des fonctions affines \[f(x) = 3x + 2 \quad (a=3,\ b=2)\] \[g(x) = -x + 5 \quad (a=-1,\ b=5)\] \[h(x) = 4x \quad (a=4,\ b=0)\] \[k(x) = 7 \quad (a=0,\ b=7)\] |
Ce n'en sont pas \[f(x) = x^2 + 1\] \[g(x) = \frac{3}{x}\] \[h(x) = \sqrt{x}\] La variable \(x\) doit apparaître seule, sans carré, ni racine, ni dénominateur. |
Deux cas portent un nom particulier :
- Si \(b = 0\), la fonction \(f(x) = ax\) est linéaire — c'est le cas des situations de proportionnalité.
- Si \(a = 0\), la fonction \(f(x) = b\) est constante — elle renvoie toujours le même nombre.
💡 Toute fonction linéaire est donc une fonction affine particulière. L'inverse est faux.
II) Calculer une image
Calculer l'image d'un nombre, c'est remplacer \(x\) par ce nombre.
Avec \(f(x) = 3x - 4\) :
\[f(5) = 3 \times 5 - 4 = 15 - 4 = 11\]
On dit que l'image de \(5\) est \(11\).
⚠️ Attention aux nombres négatifs : \(f(-2) = 3 \times (-2) - 4 = -6 - 4 = -10\). Garde les parenthèses tant que le calcul n'est pas fini.
III) Trouver un antécédent
C'est la question inverse : quel nombre a pour image \(17\) ? On résout une équation.
Toujours avec \(f(x) = 3x - 4\) :
\[3x - 4 = 17 \;\Longrightarrow\; 3x = 21 \;\Longrightarrow\; x = 7\]
L'antécédent de \(17\) est \(7\).
💡 Pour ne plus confondre : image = on connaît \(x\), on calcule. Antécédent = on connaît le résultat, on résout.
IV) La représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une droite. Et les deux coefficients se lisent directement dessus.
- \(b\) est l'ordonnée à l'origine : la hauteur à laquelle la droite coupe l'axe vertical.
- \(a\) est le coefficient directeur : quand on avance de \(1\) vers la droite, la droite monte de \(a\) (ou descend, si \(a\) est négatif).
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\(a > 0\) → la droite monte |
\(a < 0\) → la droite descend |
\(a = 0\) → la droite est horizontale |
💡 Deux points suffisent pour tracer une droite. Prends \(x = 0\) (tu obtiens \(b\) directement) puis un autre nombre simple.
Exemple 1 : tracer une droite
Tracer la représentation graphique de \(f(x) = 2x - 3\).
✅ Voir la correction
On calcule deux images :
\[f(0) = 2 \times 0 - 3 = -3 \qquad\qquad f(3) = 2 \times 3 - 3 = 3\]
On place les points de coordonnées \((0\,;-3)\) et \((3\,;3)\), puis on trace la droite qui les relie.
💡 Vérification : le coefficient directeur vaut \(2\), donc en avançant de \(1\) la droite doit monter de \(2\). Entre \(x=0\) et \(x=3\) on avance de 3, donc on monte de \(6\) : de \(-3\) à \(3\). ✔
V) Retrouver une fonction à partir de deux points
C'est l'exercice classique du brevet. On connaît deux images, on cherche \(a\) et \(b\).
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Le coefficient directeur se calcule ainsi : \[a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\] Puis on trouve \(b\) en remplaçant dans \(f(x) = ax + b\). |
Exemple 2 : déterminer la fonction
Une fonction affine \(f\) vérifie \(f(2) = 7\) et \(f(5) = 16\). Déterminer \(f\).
✅ Voir la correction
Étape 1 — le coefficient directeur :
\[a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3\]
Étape 2 — l'ordonnée à l'origine. On sait que \(f(x) = 3x + b\), et que \(f(2) = 7\) :
\[3 \times 2 + b = 7 \;\Longrightarrow\; 6 + b = 7 \;\Longrightarrow\; b = 1\]
Donc \(f(x) = 3x + 1\).
💡 Vérifie avec l'autre point : \(f(5) = 3 \times 5 + 1 = 16\) ✔. Cette vérification prend dix secondes et évite de rendre une réponse fausse.
Exemple 3 : une situation concrète
Un abonnement à une salle de sport coûte 20 € à l'inscription, puis 15 € par mois. Exprimer le coût total \(C\) en fonction du nombre de mois \(x\), puis calculer le coût pour 8 mois.
✅ Voir la correction
Chaque mois ajoute 15 €, et il y a 20 € payés une seule fois au départ :
\[C(x) = 15x + 20\]
C'est une fonction affine, avec \(a = 15\) (le coût mensuel) et \(b = 20\) (les frais fixes).
\[C(8) = 15 \times 8 + 20 = 120 + 20 = 140 \text{ €}\]
💡 Dans ce type d'énoncé, \(a\) est toujours ce qui se répète, \(b\) ce qui ne se paie qu'une fois.
À toi de jouer
On donne \(f(x) = -2x + 9\).
- Calculer \(f(4)\).
- Calculer l'antécédent de \(1\).
- La droite de \(f\) monte-t-elle ou descend-elle ? Pourquoi ?
- Une fonction affine \(g\) vérifie \(g(1) = 5\) et \(g(4) = 14\). Déterminer \(g\).
✅ Voir les réponses
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\[f(4) = -2 \times 4 + 9 = -8 + 9 = 1\]
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\[-2x + 9 = 1 \;\Longrightarrow\; -2x = -8 \;\Longrightarrow\; x = 4\]
L'antécédent de \(1\) est \(4\) — cohérent avec la question précédente.
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Le coefficient directeur est \(a = -2\), donc il est négatif : la droite descend.
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\[a = \frac{14 - 5}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3 \qquad\text{puis}\qquad 3 \times 1 + b = 5 \;\Longrightarrow\; b = 2\]
\[g(x) = 3x + 2\]
Vérification : \(g(4) = 3 \times 4 + 2 = 14\) ✔
Ce qu'il faut retenir
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